미적분 예제

$y = x {(x - 4)}^{3}$

단계 1

$y = x {(x - 4)}^{3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x {(x - 4)}^{3}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.1.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.1.3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.1.3.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

단계 2.1.1.3.6

${(x - 4)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

단계 2.1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1.1

$x (3 {(x - 4)}^{2})$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

단계 2.1.1.4.1.2

${(x - 4)}^{3}$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

단계 2.1.1.4.1.3

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

단계 2.1.1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

단계 2.1.1.4.2.2

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

단계 2.1.1.4.3

${(x - 4)}^{2}$ 을 $(x - 4) (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

단계 2.1.1.4.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x - 4)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 2.1.1.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 2.1.1.4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 2.1.1.4.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1.4.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.5.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 2.1.1.4.5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 2.1.1.4.5.1.3

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

단계 2.1.1.4.5.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

단계 2.1.1.4.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.7.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.7.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.7.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.6

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.7

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.8

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

단계 2.1.1.4.7.9

$16$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

단계 2.1.1.4.8

$- 4 x^{2}$ 에서 $32 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

단계 2.1.1.4.9

$32 x$ 를 $64 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x^{2}$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.3.3

$2$ 에 $- 36$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [96 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

$96$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $96 x$ 의 미분은 $96 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.4.3

$96$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.1.2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.1

$- 64$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 64$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

단계 2.1.2.5.2

$12 x^{2} - 72 x + 96$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x^{2} - 72 x + 96$ 입니다.

$12 x^{2} - 72 x + 96$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} - 72 x + 96 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$12 x^{2} - 72 x + 96 = 0$

단계 2.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$12 x^{2} - 72 x + 96$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$12 x^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2}) - 72 x + 96 = 0$

단계 2.2.2.1.2

$- 72 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) + 96 = 0$

단계 2.2.2.1.3

$96$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot 8 = 0$

단계 2.2.2.1.4

$12 x^{2} + 12 (- 6 x)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 8 = 0$

단계 2.2.2.1.5

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 8$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

단계 2.2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 4, - 2$

단계 2.2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$12 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

단계 2.2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$12 (x - 4) (x - 2) = 0$

단계 2.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 2.2.4

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.2.4.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.2.5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.2.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.2.6

$12 (x - 4) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, 2$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 72 \cdot 0 + 96$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 72 \cdot 0 + 96$

단계 5.2.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 72 \cdot 0 + 96$

단계 5.2.1.3

$- 72$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 0 + 96$

단계 5.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 0 + 96$

단계 5.2.2.2

$0$ 를 $96$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 96$

단계 5.2.3

최종 답은 $96$ 입니다.

$96$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 2)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 2)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(2, 4)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f'' (3) = 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3 + 96$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (3) = 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3 + 96$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = 108 - 72 \cdot 3 + 96$

단계 6.2.1.3

$- 72$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = 108 - 216 + 96$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$108$ 에서 $216$ 을 뺍니다.

$f'' (3) = - 108 + 96$

단계 6.2.2.2

$- 108$ 를 $96$ 에 더합니다.

$f'' (3) = - 12$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

단계 6.3

$f'' (3)$ 이 음수이므로 그래프는 $(2, 4)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(2, 4)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

$(4, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 96$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 96$

단계 7.2.1.2

$12$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = 432 - 72 \cdot 6 + 96$

단계 7.2.1.3

$- 72$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = 432 - 432 + 96$

단계 7.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$432$ 에서 $432$ 을 뺍니다.

$f'' (6) = 0 + 96$

단계 7.2.2.2

$0$ 를 $96$ 에 더합니다.

$f'' (6) = 96$

단계 7.2.3

최종 답은 $96$ 입니다.

$96$

단계 7.3

$f'' (6)$ 이 양수이므로 그래프는 $(4, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(4, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 2)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(2, 4)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(4, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 9