미적분 예제

$f (x) = x^{3} - x$ , $[0, 4]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = x^{3} - x$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[0, 4]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

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단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1.1

미분합니다.

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단계 3.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.1.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 1 \cdot 1$

단계 3.1.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 x^{2} - 1$ 입니다.

$3 x^{2} - 1$

단계 4

도함수가 $(0, 4)$ 에서 연속인지 확인합니다.

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단계 4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(0, 4)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(0, 4)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(0, 4)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[0, 4]$ 에서 연속이고 $(0, 4)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[0, 4]$ 에서 연속이며 $(0, 4)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[0, 4]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{3} - (0)$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - (0)$

단계 7.2.2

$0$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$f (0) = 0$

단계 7.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 8

$[0, 4]$ 구간의 $f (b)$ 를 구합니다.

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단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = {(4)}^{3} - (4)$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1.1

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (4) = 64 - (4)$

단계 8.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (4) = 64 - 4$

단계 8.2.2

$64$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (4) = 60$

단계 8.2.3

최종 답은 $60$ 입니다.

$60$

단계 9

$3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (4) + f (0))}{- (4 + 0)}$ .

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단계 9.1

$\frac{(60) - (0)}{(4) - (0)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 1 = \frac{60 + 0}{4 - (0)}$

단계 9.1.1.2

$60$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 - (0)}$

단계 9.1.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 9.1.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 + 0}$

단계 9.1.2.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4}$

단계 9.1.3

$60$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$3 x^{2} - 1 = 15$

단계 9.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$3 x^{2} = 15 + 1$

단계 9.2.2

$15$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 x^{2} = 16$

단계 9.3

$3 x^{2} = 16$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$3 x^{2} = 16$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

단계 9.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

단계 9.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{16}{3}$

단계 9.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

단계 9.5

$\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.5.1

$\sqrt{\frac{16}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

단계 9.5.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.5.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 9.5.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

단계 9.5.3

$\frac{4}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 9.5.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 9.5.4.1

$\frac{4}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 9.5.4.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 9.5.4.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 9.5.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 9.5.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 9.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 9.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9.5.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 9.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.5.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.5.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.5.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 9.5.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

단계 9.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 9.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

단계 9.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

단계 9.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

단계 10

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 에서 끝점 $a = 0$ 과 $b = 4$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 11

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 에서 끝점 $a = 0$ 과 $b = 4$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 12