미적분 예제

f (x) = x^{\frac{2}{3}}

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ,

[- 1, 8]

$[- 1, 8]$

단계 1

만약

f

$f$ 가

[a, b]

$[a, b]$ 구간에서 연속이며

(a, b)

$(a, b)$ 에서 미분가능하면,

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수

c

$c$ 가

(a, b)

$(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는

x = c

$x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와

(a, f (a))

$(a, f (a))$ 와

(b, f (b))

$(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

f (x)

$f (x)$ 가

[a, b]

$[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고

f (x)

$f (x)$ 가

(a, b)

$(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면

[a, b]

$[a, b]$ 에 적어도 하나의 점

c

$c$ 이 존재합니다:

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

f (x) = x^{\frac{2}{3}}

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

함수가

[- 1, 8]

$[- 1, 8]$ 에서 연속인지 알아내기 위해

f (x) = x^{\frac{2}{3}}

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

규칙

x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

\sqrt[3]{x^{2}}

$\sqrt[3]{x^{2}}$

단계 2.1.2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는

$[- 1, 8]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$n = \frac{2}{3}$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

단계 3.1.2

공통 분모를 가지는 분수로

$- 1$ 을 표현하기 위해

$\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 3.1.3

$- 1$ 와

$\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 3.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 3.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

$- 1$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

단계 3.1.5.2

$2$ 에서

$3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

단계 3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

단계 3.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.7.1

음의 지수 법칙

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

단계 3.1.7.2

$\frac{2}{3}$ 에

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 3.2

$f (x)$ 의

$x$ 에 대한 1차 도함수는

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 입니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 4

도함수가

$(- 1, 8)$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

함수가

$(- 1, 8)$ 에서 연속인지 알아내기 위해

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

규칙

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

단계 4.1.1.2

모든 수의

$1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

단계 4.1.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ 의 분모를

$0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

단계 4.1.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt[3]{x}$ 을(를)

$x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.2.1.1

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2.1.2

$3$ 를

$3$ 승 합니다.

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$27 x^{1} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$27 x = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도

$0$ 이 나옵니다.

$27 x = 0$

단계 4.1.3.3

$27 x = 0$ 의 각 항을

$27$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1

$27 x = 0$ 의 각 항을

$27$ 로 나눕니다.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

단계 4.1.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.2.1

$27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

단계 4.1.3.3.2.1.2

$x$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{27}$

단계 4.1.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.3.1

$0$ 을

$27$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 4.1.4

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한

$x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 4.2

$0$ 이

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 의 정의역에 포함되지 않으므로

$f' (x)$ 는

$(- 1, 8)$ 에서 연속이 아닙니다.

연속 함수가 아닙니다.

단계 5

도함수

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 이

$(- 1, 8)$ 에서 연속이 아니므로 이 함수는

$(- 1, 8)$ 에서 미분할 수 없습니다.

이 함수는 미분가능하지 않습니다.

단계 6