미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

함수가 $[- 1, 1]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

단계 2.1.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\sqrt[3]{x}$

단계 2.1.2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[- 1, 1]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

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단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1.1

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 3.1.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 3.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 3.1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

단계 3.1.5.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

단계 3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

단계 3.1.7

간단히 합니다.

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단계 3.1.7.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.1.7.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 입니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 4

도함수가 $(- 1, 1)$ 에서 연속인지 확인합니다.

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단계 4.1

함수가 $(- 1, 1)$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 4.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

단계 4.1.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

단계 4.1.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 4.1.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.2.1.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$27 x^{2} = 0^{3}$

단계 4.1.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$27 x^{2} = 0$

단계 4.1.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1

$27 x^{2} = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.1

$27 x^{2} = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나눕니다.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

단계 4.1.3.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.2.1

$27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

단계 4.1.3.3.1.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{0}{27}$

단계 4.1.3.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.3.1

$0$ 을 $27$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 0$

단계 4.1.3.3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 4.1.3.3.3

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.1.3.3.3.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 4.1.3.3.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 4.1.3.3.3.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 4.1.4

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 4.2

$0$ 이 $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 의 정의역에 포함되지 않으므로 $f' (x)$ 는 $(- 1, 1)$ 에서 연속이 아닙니다.

연속 함수가 아닙니다.

단계 5

도함수 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 이 $(- 1, 1)$ 에서 연속이 아니므로 이 함수는 $(- 1, 1)$ 에서 미분할 수 없습니다.

이 함수는 미분가능하지 않습니다.

단계 6