미적분 예제

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = e^{- 2 x}$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[0, 2]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 3.1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 3.1.1.3

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 3.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

단계 3.1.2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.3.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

단계 3.1.2.3.2

$e^{- 2 x}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 2 e^{- 2 x}$ 입니다.

$- 2 e^{- 2 x}$

단계 4

도함수가 $(0, 2)$ 에서 연속인지 확인합니다.

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단계 4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(0, 2)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(0, 2)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(0, 2)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[0, 2]$ 에서 연속이고 $(0, 2)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[0, 2]$ 에서 연속이며 $(0, 2)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[0, 2]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = e^{0}$

단계 7.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f (0) = 1$

단계 7.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 8

$[0, 2]$ 구간의 $f (b)$ 를 구합니다.

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단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = e^{- 4}$

단계 8.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

단계 8.2.3

최종 답은 $\frac{1}{e^{4}}$ 입니다.

$\frac{1}{e^{4}}$

단계 9

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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단계 9.1

$\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

분수의 분자와 분모에 $e^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 9.1.1.1

$\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ 에 $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

단계 9.1.1.2

조합합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

단계 9.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.3

$e^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.4.2

$e^{4} \cdot (1)$ 을 ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = e^{2} \cdot 1$ 입니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.4.4.1

$e^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.4.4.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.4.4.3

$e^{2} \cdot 1$ 을 ${(e \cdot 1)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.4.4.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = e \cdot 1$ 입니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.4.4.5

간단히 합니다.

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단계 9.1.4.4.5.1

$e$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.4.4.5.2

$e$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

단계 9.1.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.5.1

$e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ 에서 $e^{4}$ 를 인수분해합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

단계 9.1.5.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

단계 9.1.5.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

단계 9.1.6

$e^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

단계 9.2

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

단계 9.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

단계 9.2.2.1.2

$e^{- 2 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

단계 9.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

단계 9.2.3.2

조합합니다.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

단계 9.2.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.3.1

$1 + e^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

단계 9.2.3.3.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

단계 9.2.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

단계 9.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

단계 9.4

$\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 9.5

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

단계 11