미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

함수가 $[- 2, 2]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 6 = 0$

단계 2.1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 6$

단계 2.1.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

단계 2.1.2.3

$\pm \sqrt{- 6}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$- 6$ 을 $- 1 (6)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

단계 2.1.2.3.2

$\sqrt{- 1 (6)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

단계 2.1.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{6}$

단계 2.1.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{6}$

단계 2.1.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{6}$

단계 2.1.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

단계 2.1.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[- 2, 2]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.2.2

$x^{2} + 6$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.2.5

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.6.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.6.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.6.3.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.6.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.6.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.6.3.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.6.3.1.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.6.3.2

$2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.1.6.3.2.2

$12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

단계 4

도함수가 $(- 2, 2)$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

함수가 $(- 2, 2)$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

단계 4.1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$x^{2} + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 6 = 0$

단계 4.1.2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 6$

단계 4.1.2.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

단계 4.1.2.2.3

$\pm \sqrt{- 6}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.3.1

$- 6$ 을 $- 1 (6)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

단계 4.1.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (6)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

단계 4.1.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{6}$

단계 4.1.2.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{6}$

단계 4.1.2.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{6}$

단계 4.1.2.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

단계 4.1.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(- 2, 2)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(- 2, 2)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(- 2, 2)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[- 2, 2]$ 에서 연속이고 $(- 2, 2)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[- 2, 2]$ 에서 연속이며 $(- 2, 2)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[- 2, 2]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

단계 7.2.2.2

$4$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

단계 7.2.3

$4$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

단계 7.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

단계 7.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

단계 7.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

단계 7.2.4

최종 답은 $\frac{2}{5}$ 입니다.

$\frac{2}{5}$

단계 8

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$- 1$ 에 $\frac{2}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

단계 8.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

단계 8.1.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

단계 8.1.4

$0$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

단계 8.1.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

단계 8.1.6

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

단계 8.1.7

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

단계 8.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

단계 8.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

단계 8.3

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ 의 각 항에 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ 의 각 항에 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

단계 8.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

${(x^{2} + 6)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

단계 8.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

단계 8.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

$0$ 에 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 을 곱합니다.

$12 x = 0$

단계 8.4

$12 x = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

$12 x = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

단계 8.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

단계 8.4.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{12}$

단계 8.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.3.1

$0$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 9

$x = 0$ 에서 끝점 $a = - 2$ 과 $b = 2$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 10