미적분 예제

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ , $[- 3, 3]$

단계 1

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $9 x^{3} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{3}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$27 x^{2} + 0$

단계 1.1.3.2

$27 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 27 x^{2}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $27 x^{2}$ 입니다.

$27 x^{2}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

$f' (x)$ 는 $[- 3, 3]$ 에서 연속입니다.

$f' (x)$ 는 연속입니다

단계 4

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f'$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 5

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 27 x^{2} d x)$

단계 6

$27$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $27$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}))$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

단계 8.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$3$ , $- 3$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.3

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 27}{3}))$

단계 8.2.2.4

$- 27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.4.1

$- 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}))$

단계 8.2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.4.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}))$

단계 8.2.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}))$

단계 8.2.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 9}{1}))$

단계 8.2.2.4.2.4

$- 9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

단계 8.2.2.5

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

단계 8.2.2.6

$9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \cdot 18)$

단계 8.2.2.7

$27$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (486)$

단계 9

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 486$

단계 10

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

$486$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (81))$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 81)$

단계 10.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 81$

단계 11