미적분 예제

$f (x) = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = 4 x - 2$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[1, 3]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

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단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.1.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.3.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$4 + 0$

단계 3.1.3.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4$ 입니다.

$4$

단계 4

도함수가 $(1, 3)$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(1, 3)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(1, 3)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(1, 3)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[1, 3]$ 에서 연속이고 $(1, 3)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[1, 3]$ 에서 연속이며 $(1, 3)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[1, 3]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 4 (1) - 2$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 4 - 2$

단계 7.2.2

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (1) = 2$

단계 7.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 8

$[1, 3]$ 구간의 $f (b)$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = 4 (3) - 2$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (3) = 12 - 2$

단계 8.2.2

$12$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (3) = 10$

단계 8.2.3

최종 답은 $10$ 입니다.

$10$

단계 9

$4 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $4 = \frac{- (f (3) + f (1))}{- (3 + 1)}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{(10) - (2)}{(3) - (1)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 = \frac{10 - 2}{3 - (1)}$

단계 9.1.1.2

$10$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 = \frac{8}{3 - (1)}$

단계 9.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 = \frac{8}{3 - 1}$

단계 9.1.2.2

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$4 = \frac{8}{2}$

단계 9.1.3

$8$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$4 = 4$

단계 9.2

$4 = 4$ 이므로, 이 식은 항상 참입니다.

항상 참

단계 10

그래프는 직선입니다. 곡선의 모든 $x$ 에서 접선이 존재하며, 접선은 끝점 $a = 1$ 와 $b = 3$ 를 지나는 직선과 평행합니다.

곡선의 모든 점에서 접선이 존재하며 접선은 끝점인 $a = 1$ 와 $b = 3$ 를 지나는 직선에 평행합니다.

단계 11