미적분 예제

$y = 9 - x^{2}$ , $[- 3, 3]$

단계 1

$9$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 9$

단계 2

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 3

$f (x) = - x^{2} + 9$ 가 연속인지 확인합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3.2

$f (x)$ 는 $[- 3, 3]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 4

도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.3.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$- 2 x + 0$

단계 4.1.3.2

$- 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 2 x$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 2 x$ 입니다.

$- 2 x$

단계 5

도함수가 $(- 3, 3)$ 에서 연속인지 확인합니다.

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단계 5.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 5.2

$f' (x)$ 는 $(- 3, 3)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 6

도함수가 $(- 3, 3)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(- 3, 3)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 7

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[- 3, 3]$ 에서 연속이고 $(- 3, 3)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[- 3, 3]$ 에서 연속이며 $(- 3, 3)$ 에서 미분가능합니다.

단계 8

$[- 3, 3]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

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단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} + 9$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 + 9$

단계 8.2.1.2

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = - 9 + 9$

단계 8.2.2

$- 9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f (- 3) = 0$

단계 8.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 9

$- 2 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $- 2 x = \frac{- (f (3) + f (- 3))}{- (3 - 3)}$ .

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단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 2 x = \frac{0 + 0}{(3) - (- 3)}$

단계 9.1.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 2 x = \frac{0 + 0}{3 + 3}$

단계 9.1.3

공약수를 소거하여 수식 $\frac{0 + 0}{3 + 3}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 9.1.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x = \frac{3 (0) + 0}{3 + 3}$

단계 9.1.3.2

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x = \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3 + 3}$

단계 9.1.3.3

$3 \cdot 0 + 3 \cdot 0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 + 3}$

단계 9.1.3.4

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 (1) + 3}$

단계 9.1.3.5

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1}$

단계 9.1.3.6

$3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot (1 + 1)}$

단계 9.1.3.7

공약수로 약분합니다.

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot (1 + 1)}$

단계 9.1.3.8

수식을 다시 씁니다.

$- 2 x = \frac{0 + 0}{1 + 1}$

단계 9.1.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 x = \frac{0}{1 + 1}$

단계 9.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 x = \frac{0}{2}$

단계 9.1.6

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- 2 x = 0$

단계 9.2

$- 2 x = 0$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$- 2 x = 0$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

단계 9.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 9.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

단계 9.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{- 2}$

단계 9.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 9.2.3.1

$0$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 10

$x = 0$ 에서 끝점 $a = - 3$ 과 $b = 3$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 11