미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{2} + 1$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.1.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.1.2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

단계 1.1.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.1.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

단계 1.1.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.1.9.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

단계 1.1.9.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

단계 1.1.9.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.9.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$f (x) = (x + 1) (x - 1)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 1.2.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.3

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.4.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.5

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.8.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.8.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.8.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.4.8.4.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.6

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 1.2.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 1) (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

단계 1.2.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.1.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2) (x - 1) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 2 x - 2) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.1.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.1.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.3.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.3.1.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.3.2

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 2) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.3.3

$- 2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2) x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 2 x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 2 x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.2

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{0 + 2 x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.2.3

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

단계 1.2.9.3

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.3.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

단계 1.2.9.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.3.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

단계 1.2.9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

단계 1.2.9.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2}{x^{3}}$ 입니다.

$\frac{2}{x^{3}}$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2}{x^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 2.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

2차 미분값을 $0$ 이 되게 할 수 있는 값이 없습니다.

변곡점 없음