미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 1.1.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.3

${(x - 1)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.3.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.4.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.4.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.4.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.4.5.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.5.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.7.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.7.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.7.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.7.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.7.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.7.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.7.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.7.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.7.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.8.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.8.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.1.9

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.2

$2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.2.2

$- 4 x^{2} + 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.2.3

$- 4 x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.3

$- 2 x^{2} + 2 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.3.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.3.2

$2 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.3.3

$2 x (- x) + 2 x (1)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.4

$- x + 1$ 및 ${(x - 1)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.4.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.4.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.4.3

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.4.4

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.4.5

$2 x (- 1 (x - 1))$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.1.5.4.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.4.6.1

${(x - 1)}^{4}$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

단계 1.1.5.4.6.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

단계 1.1.5.4.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.1.5.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.1.5.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

단계 1.2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

단계 1.2.3.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.3.3

${(x - 1)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.4.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.5.2

${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ 에서 ${(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

${(x - 1)}^{3}$ 에서 ${(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.5.2.2

$- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ 에서 ${(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.5.2.3

${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ 에서 ${(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.2.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

${(x - 1)}^{6}$ 에서 ${(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.7

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.9

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.10

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.10.2

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.10.3

$x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.10.4

$- 2$ 와 $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.10.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.11.2.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.3

$- 4 x - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.11.3.1

$- 4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.3.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.3.3

$2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.4

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.5

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.6

$- (2 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.7

$- (2 x + 1)$ 을 $- 1 (2 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.2.11.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

단계 1.2.11.10

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ 입니다.

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 (2 x + 1) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2 (2 x + 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$2 (2 x + 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.3.1.2.1.2

$2 x + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

단계 2.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$2 x + 1 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x = - 1$

단계 2.3.3

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.3.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{2}$

단계 2.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ 에 $- \frac{1}{2}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$- \frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.1.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.1.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.1.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.1.2.1.6

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.1.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

단계 3.1.2.2.2

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

단계 3.1.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

단계 3.1.2.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.4.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

단계 3.1.2.2.4.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

단계 3.1.2.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

단계 3.1.2.2.6

$- \frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

단계 3.1.2.2.7

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

단계 3.1.2.2.8

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

단계 3.1.2.2.9

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

단계 3.1.2.2.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

단계 3.1.2.2.11

$\frac{9}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

단계 3.1.2.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

단계 3.1.2.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

단계 3.1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

단계 3.1.2.5

최종 답은 $\frac{1}{9}$ 입니다.

$\frac{1}{9}$

단계 3.2

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ 에 $- \frac{1}{2}$ 을 대입하여 구한 점은 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - \frac{1}{2})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.6$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2$ 에 $- 0.6$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

단계 5.2.1.2

$- 1.2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 0.6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

단계 5.2.2.2

$- 1.6$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

단계 5.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$2$ 에 $- 0.2$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

단계 5.2.3.2

$- 0.4$ 을 $6.5536$ 로 나눕니다.

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

단계 5.2.4

최종 답은 $- 0.06103515$ 입니다.

$- 0.06103515$

단계 5.3

$- 0.6$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.06103515$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 에서 감소함

단계 6

$(- \frac{1}{2}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$2$ 에 $- 0.4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

단계 6.2.1.2

$- 0.8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 0.4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

단계 6.2.2.2

$- 1.4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

단계 6.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$2$ 에 $0.2$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

단계 6.2.3.2

$0.4$ 을 $3.8416$ 로 나눕니다.

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

단계 6.2.4

최종 답은 $0.10412328$ 입니다.

$0.10412328$

단계 6.3

$- 0.4$ 에서의 이계도함수는 $0.10412328$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ 입니다.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

단계 8