미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{1}{x + 3}$ 을 ${(x + 3)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- 1})$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

단계 1.1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

단계 1.1.3.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

단계 1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

단계 1.1.3.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2}$

단계 1.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.2.2.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ 을 ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.2.2

${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.3

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.3.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.3.3

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.4

미분합니다.

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단계 1.2.4.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.4.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.4.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.4.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.2.4.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot 0$

단계 1.2.4.7

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.7.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + 0$

단계 1.2.4.7.2

$2 {(x + 3)}^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3}$

단계 1.2.5

간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 1.2.5.2

$2$ 와 $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 2.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

2차 미분값을 $0$ 이 되게 할 수 있는 값이 없습니다.

변곡점 없음