미적분 예제

$x e^{x}$

단계 1

$x e^{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x e^{x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

단계 2.1.3.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x e^{x} + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.2.4

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

단계 2.2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 입니다.

$x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

단계 3.2

$x e^{x} + 2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

단계 3.2.2

$2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

단계 3.2.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (x + 2) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

단계 3.4

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 3.4.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 3.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 3.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 3.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 3.6

$e^{x} (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = x e^{x}$ 에 $- 2$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

단계 4.1.2.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

단계 4.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

단계 4.1.2.4

최종 답은 $- \frac{2}{e^{2}}$ 입니다.

$- \frac{2}{e^{2}}$

단계 4.2

$f (x) = x e^{x}$ 에 $- 2$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

단계 6.2.1.2

$- 2.1$ 와 $\frac{1}{e^{2.1}}$ 을 묶습니다.

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

단계 6.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

단계 6.2.1.4

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

단계 6.2.1.5

$2.71828182$ 를 $2.1$ 승 합니다.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

단계 6.2.1.6

$2.1$ 을 $8.16616991$ 로 나눕니다.

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

단계 6.2.1.7

$- 1$ 에 $0.25715849$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

단계 6.2.1.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

단계 6.2.1.9

$2$ 와 $\frac{1}{e^{2.1}}$ 을 묶습니다.

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

단계 6.2.2

$- 0.25715849$ 를 $\frac{2}{e^{2.1}}$ 에 더합니다.

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 0.01224564$ 입니다.

$- 0.01224564$

단계 6.3

$- 2.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.01224564$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 감소함

단계 7

$(- 2, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.9$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

단계 7.2.1.2

$- 1.9$ 와 $\frac{1}{e^{1.9}}$ 을 묶습니다.

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

단계 7.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

단계 7.2.1.4

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

단계 7.2.1.5

$2.71828182$ 를 $1.9$ 승 합니다.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

단계 7.2.1.6

$1.9$ 을 $6.68589444$ 로 나눕니다.

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

단계 7.2.1.7

$- 1$ 에 $0.28418037$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

단계 7.2.1.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

단계 7.2.1.9

$2$ 와 $\frac{1}{e^{1.9}}$ 을 묶습니다.

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

단계 7.2.2

$- 0.28418037$ 를 $\frac{2}{e^{1.9}}$ 에 더합니다.

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

단계 7.2.3

최종 답은 $0.01495686$ 입니다.

$0.01495686$

단계 7.3

$- 1.9$ 에서의 이계도함수는 $0.01495686$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- 2, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- 2, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ 입니다.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

단계 9