미적분 예제

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.1.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.1.3

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.6

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.3.3

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

단계 1.1.4.2

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

단계 1.2

$h (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ 입니다.

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

단계 2.2

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

이항정리 이용

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.2.1

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2.3

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2.5

$8$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2.6

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2.7

$16$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2.8

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2.9

$32$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

단계 2.2.1.2.10

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

단계 2.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

단계 2.2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.4.1

$12$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

단계 2.2.1.4.2

$60$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

단계 2.2.1.4.3

$160$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

단계 2.2.1.4.4

$240$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

단계 2.2.1.4.5

$192$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

단계 2.2.1.4.6

$7$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

단계 2.2.2

$448$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

단계 2.3

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x = - 3, - 1$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $- 3, - 1$ 입니다.

$- 3, - 1$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 3)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

단계 5.2.1.2

$- 2$ 를 $6$ 승 합니다.

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

단계 5.2.1.3

$7$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$h' (- 4) = 448 - 7$

단계 5.2.2

$448$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$h' (- 4) = 441$

단계 5.2.3

최종 답은 $441$ 입니다.

$441$

단계 5.3

$x = - 4$ 에서의 도함수는 $441$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 3)$ 구간에서 증가합니다.

$h' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 3)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 3, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

단계 6.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

단계 6.2.1.3

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$h' (- 2) = 0 - 7$

단계 6.2.2

$0$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$h' (- 2) = - 7$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 7$ 입니다.

$- 7$

단계 6.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- 7$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 3, - 1)$ 구간에서 감소합니다.

$h' (x) < 0$ 이므로 $(- 3, - 1)$ 에서 감소함

단계 7

$(- 1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

단계 7.2.1.2

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

단계 7.2.1.3

$7$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$h' (0) = 448 - 7$

단계 7.2.2

$448$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$h' (0) = 441$

단계 7.2.3

최종 답은 $441$ 입니다.

$441$

단계 7.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $441$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$h' (x) > 0$ 이므로 $(- 1, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- 3, - 1)$

단계 9