미적분 예제

$y = \frac{1}{x}$

단계 1

$y = \frac{1}{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{x}$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.1.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2}$

단계 2.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{x^{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{x^{2}}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 3.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 5

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 5.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 5.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 5.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6

도함수 $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \frac{1}{x}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 7

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

단계 7.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 1$

단계 7.2.4

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 7.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $- 1$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 8

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

단계 8.2.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

단계 8.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

단계 8.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 1$

단계 8.2.4

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 8.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $- 1$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 감소함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

단계 10