미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} + 3$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{5}{3}} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$n = \frac{5}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.2.5.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 0$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$

단계 1.1.4.2

$\frac{5}{3}$ 와 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.2.1

$\frac{5}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 의 미분은 $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 1.2.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

단계 1.2.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

단계 1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

단계 1.2.8

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 1.2.9

$\frac{5}{3}$ 에 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3}$

단계 1.2.10

곱합니다.

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단계 1.2.10.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

단계 1.2.10.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

단계 1.2.10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ 입니다.

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$10 = 0$

단계 2.3

$10 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

2차 미분값을 $0$ 이 되게 할 수 있는 값이 없습니다.

변곡점 없음