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미적분 예제
단계 1
단계 1.1
1차 도함수를 구합니다.
단계 1.1.1
, 일 때 는 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.2
미분합니다.
단계 1.1.2.1
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.2.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.2.3
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.1.2.4
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.2.5
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.1.2.6
식을 간단히 합니다.
단계 1.1.2.6.1
를 에 더합니다.
단계 1.1.2.6.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.3
를 승 합니다.
단계 1.1.4
를 승 합니다.
단계 1.1.5
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.1.6
를 에 더합니다.
단계 1.1.7
에서 을 뺍니다.
단계 1.2
2차 도함수를 구합니다
단계 1.2.1
, 일 때 는 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.2
미분합니다.
단계 1.2.2.1
의 지수를 곱합니다.
단계 1.2.2.1.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 1.2.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.2.2
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.2.2.3
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.2.2.4
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.2.5
에 을 곱합니다.
단계 1.2.2.6
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.2.2.7
를 에 더합니다.
단계 1.2.3
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.3.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 1.2.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.3.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.2.4
미분합니다.
단계 1.2.4.1
에 을 곱합니다.
단계 1.2.4.2
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.2.4.3
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.4.4
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.2.4.5
식을 간단히 합니다.
단계 1.2.4.5.1
를 에 더합니다.
단계 1.2.4.5.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.2.4.5.3
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5
간단히 합니다.
단계 1.2.5.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.3
분자를 간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1.1
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 1.2.5.3.1.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.5.3.1.3
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 1.2.5.3.1.3.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.3.1.3.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.3.1.3.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.3.1.4
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1.4.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1.4.1.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.4.1.1.1
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.2.5.3.1.4.1.1.2
를 에 더합니다.
단계 1.2.5.3.1.4.1.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.2.5.3.1.4.1.3
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.5.3.1.4.1.4
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.5.3.1.4.1.5
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.4.2
에서 을 뺍니다.
단계 1.2.5.3.1.5
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.3.1.6
간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1.6.1
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.6.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.7
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.3.1.8
간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1.8.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.8.1.1
를 옮깁니다.
단계 1.2.5.3.1.8.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.8.1.2.1
를 승 합니다.
단계 1.2.5.3.1.8.1.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.2.5.3.1.8.1.3
를 에 더합니다.
단계 1.2.5.3.1.8.2
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.8.2.1
를 옮깁니다.
단계 1.2.5.3.1.8.2.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.8.2.2.1
를 승 합니다.
단계 1.2.5.3.1.8.2.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.2.5.3.1.8.2.3
를 에 더합니다.
단계 1.2.5.3.1.9
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1.9.1
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.9.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.10
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1.10.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.10.1.1
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.10.1.1.1
를 승 합니다.
단계 1.2.5.3.1.10.1.1.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.2.5.3.1.10.1.2
를 에 더합니다.
단계 1.2.5.3.1.10.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.5.3.1.11
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 1.2.5.3.1.11.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.3.1.11.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.3.1.11.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.3.1.12
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.1.1
를 옮깁니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.1.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.1.3
를 에 더합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.2
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.3
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.3.1
를 옮깁니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.3.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.3.2.1
를 승 합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.3.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.3.3
를 에 더합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.4
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.1.5
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.2
를 에 더합니다.
단계 1.2.5.3.1.12.3
를 에 더합니다.
단계 1.2.5.3.2
를 에 더합니다.
단계 1.2.5.3.3
에서 을 뺍니다.
단계 1.2.5.4
분자를 간단히 합니다.
단계 1.2.5.4.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.4.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.4.1.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.4.1.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.4.1.4
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.4.1.5
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.4.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.5.4.3
로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 를 로 바꿉니다.
단계 1.2.5.4.4
AC 방법을 이용하여 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.4.4.1
형태를 이용합니다. 곱이 이고 합이 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 이고 합은 입니다.
단계 1.2.5.4.4.2
이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.
단계 1.2.5.4.5
를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.2.5.4.6
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.5.4.7
두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 이고 입니다.
단계 1.2.5.5
분모를 간단히 합니다.
단계 1.2.5.5.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.5.5.2
두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 이고 입니다.
단계 1.2.5.5.3
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.5.6
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 1.2.5.6.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.6.2
공약수로 약분합니다.
단계 1.2.5.6.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.6.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 1.2.5.6.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 1.2.5.7
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 1.2.5.7.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.7.2
공약수로 약분합니다.
단계 1.2.5.7.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.7.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 1.2.5.7.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 1.3
의 에 대한 2차 도함수는 입니다.
단계 2
단계 2.1
2차 도함수를 과(와) 같게 합니다.
단계 2.2
분자가 0과 같게 만듭니다.
단계 2.3
에 대해 식을 풉니다.
단계 2.3.1
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 2.3.2
를 와 같다고 둡니다.
단계 2.3.3
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 2.3.3.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 2.3.3.2
을 에 대해 풉니다.
단계 2.3.3.2.1
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
단계 2.3.3.2.3
을 간단히 합니다.
단계 2.3.3.2.3.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.3.3.2.3.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.3.3.2.3.3
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.3.3.2.4
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
단계 2.3.3.2.4.1
먼저, 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.
단계 2.3.3.2.4.2
그 다음 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.
단계 2.3.3.2.4.3
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
단계 2.3.4
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 3
단계 3.1
에 을 대입하여 값을 구합니다.
단계 3.1.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 3.1.2
결과를 간단히 합니다.
단계 3.1.2.1
분모를 간단히 합니다.
단계 3.1.2.1.1
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 3.1.2.1.2
에서 을 뺍니다.
단계 3.1.2.2
을 로 나눕니다.
단계 3.1.2.3
최종 답은 입니다.
단계 3.2
에 을 대입하여 구한 점은 입니다. 이 점은 변곡점입니다.
단계 4
을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.
단계 5
단계 5.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 5.2
결과를 간단히 합니다.
단계 5.2.1
분자를 간단히 합니다.
단계 5.2.1.1
에 을 곱합니다.
단계 5.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 5.2.2
분모를 간단히 합니다.
단계 5.2.2.1
를 에 더합니다.
단계 5.2.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 5.2.2.3
를 승 합니다.
단계 5.2.2.4
를 승 합니다.
단계 5.2.3
식을 간단히 합니다.
단계 5.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 5.2.3.2
을 로 나눕니다.
단계 5.2.4
최종 답은 입니다.
단계 5.3
에서의 이계도함수는 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 구간에서 증가합니다.
이므로 에서 증가함
이므로 에서 증가함
단계 6
단계 6.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 6.2
결과를 간단히 합니다.
단계 6.2.1
분자를 간단히 합니다.
단계 6.2.1.1
에 을 곱합니다.
단계 6.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 6.2.2
분모를 간단히 합니다.
단계 6.2.2.1
를 에 더합니다.
단계 6.2.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 6.2.2.3
를 승 합니다.
단계 6.2.2.4
를 승 합니다.
단계 6.2.3
식을 간단히 합니다.
단계 6.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 6.2.3.2
을 로 나눕니다.
단계 6.2.4
최종 답은 입니다.
단계 6.3
에서의 2차 미분값은 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 구간에서 감소합니다.
이므로 에서 감소함
이므로 에서 감소함
단계 7
변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 입니다.
단계 8