미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.4.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (10)$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + 0$

단계 1.1.5.2

$6 x^{2} - 6 x - 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} - 6 x - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 1.2.2.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 1.2.3.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 1.2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x - 6 + 0$

단계 1.2.4.2

$12 x - 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x - 6$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x - 6$ 입니다.

$12 x - 6$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x - 6 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$12 x - 6 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$12 x = 6$

단계 2.3

$12 x = 6$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$12 x = 6$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{6}{12}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$6$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{6 (1)}{12}$

단계 2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.2.1

$12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

단계 2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

단계 2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (4)}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 4}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.5

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{2}} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.8

$- 3$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.10

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.10.1

$- 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 (- 6) (\frac{1}{2}) + 10$

단계 3.1.2.1.10.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 6 (\frac{1}{2})) + 10$

단계 3.1.2.1.10.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 6 + 10$

단계 3.1.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{1}{2}) = - 6 + 10 + \frac{1 - 3}{4}$

단계 3.1.2.2.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{2}) = - 6 + 10 + \frac{- 2}{4}$

단계 3.1.2.3

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1

$- 6$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6}{1} + 10 + \frac{- 2}{4}$

단계 3.1.2.3.2

$\frac{- 6}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 10 + \frac{- 2}{4}$

단계 3.1.2.3.3

$\frac{- 6}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 10 + \frac{- 2}{4}$

단계 3.1.2.3.4

$10$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{10}{1} + \frac{- 2}{4}$

단계 3.1.2.3.5

$\frac{10}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{10}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 2}{4}$

단계 3.1.2.3.6

$\frac{10}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4}$

단계 3.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4 + 10 \cdot 4 - 2}{4}$

단계 3.1.2.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.5.1

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 24 + 10 \cdot 4 - 2}{4}$

단계 3.1.2.5.2

$10$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 24 + 40 - 2}{4}$

단계 3.1.2.6

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.6.1

$- 24$ 를 $40$ 에 더합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{16 - 2}{4}$

단계 3.1.2.6.2

$16$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{14}{4}$

단계 3.1.2.6.3

$14$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.6.3.1

$14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (7)}{4}$

단계 3.1.2.6.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.6.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

단계 3.1.2.6.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

단계 3.1.2.6.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$

단계 3.1.2.7

최종 답은 $\frac{7}{2}$ 입니다.

$\frac{7}{2}$

단계 3.2

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{1}{2})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.4$ 을 대입합니다.

$f'' (0.4) = 12 (0.4) - 6$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$12$ 에 $0.4$ 을 곱합니다.

$f'' (0.4) = 4.8 - 6$

단계 5.2.2

$4.8$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (0.4) = - 1.2$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 1.2$ 입니다.

$- 1.2$

단계 5.3

$0.4$ 에서의 2차 미분값은 $- 1.2$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 에서 감소함

단계 6

$(\frac{1}{2}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.6$ 을 대입합니다.

$f'' (0.6) = 12 (0.6) - 6$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$12$ 에 $0.6$ 을 곱합니다.

$f'' (0.6) = 7.2 - 6$

단계 6.2.2

$7.2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (0.6) = 1.2$

단계 6.2.3

최종 답은 $1.2$ 입니다.

$1.2$

단계 6.3

$0.6$ 에서의 이계도함수는 $1.2$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(\frac{1}{2}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{1}{2}, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ 입니다.

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$

단계 8