미적분 예제

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x {(x - 4)}^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

단계 1.1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.3.3

$u$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4

미분합니다.

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단계 1.1.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

단계 1.1.4.6

${(x - 4)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

단계 1.1.5

간단히 합니다.

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단계 1.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

단계 1.1.5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

단계 1.1.5.3

$6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ 에서 $2 {(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.5.3.1

$6 x {(x - 4)}^{2}$ 에서 $2 {(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

단계 1.1.5.3.2

$2 {(x - 4)}^{3}$ 에서 $2 {(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

단계 1.1.5.3.3

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ 에서 $2 {(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

단계 1.1.5.4

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

단계 1.1.5.5

${(x - 4)}^{2}$ 을 $(x - 4) (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x - 4)$ 를 전개합니다.

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단계 1.1.5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.5.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.5.7.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.7.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.7.1.3

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.7.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.8

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.9

간단히 합니다.

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단계 1.1.5.9.1

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.9.2

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

단계 1.1.5.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.5.11.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.5.11.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.5.11.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.4

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.5.11.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.7

$- 16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.8

$- 4$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.9

$4$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

단계 1.1.5.11.10

$32$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

단계 1.1.5.12

$- 8 x^{2}$ 에서 $64 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

단계 1.1.5.13

$64 x$ 를 $128 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.2.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.3.1

$- 72$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 72 x^{2}$ 의 미분은 $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.3.3

$2$ 에 $- 72$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.4

$\frac{d}{d x} [192 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.4.1

$192$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $192 x$ 의 미분은 $192 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.4.3

$192$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

단계 1.2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.5.1

$- 128$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 128$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 128$ 입니다.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

단계 1.2.5.2

$24 x^{2} - 144 x + 192$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $24 x^{2} - 144 x + 192$ 입니다.

$24 x^{2} - 144 x + 192$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$24 x^{2} - 144 x + 192$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$24 x^{2}$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 144 x$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

단계 2.2.1.3

$192$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

단계 2.2.1.4

$24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

단계 2.2.1.5

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 4, - 2$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 2.4

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.6

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, 2$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ 에 $4$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

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단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

단계 3.1.2.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

단계 3.1.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (4) = 8 \cdot 0$

단계 3.1.2.4

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (4) = 0$

단계 3.1.2.5

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.2

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ 에 $4$ 을 대입하여 구한 점은 $(4, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(4, 0)$

단계 3.3

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ 에 $2$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

단계 3.3.2.2

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

단계 3.3.2.3

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2) = 4 \cdot - 8$

단계 3.3.2.4

$4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (2) = - 32$

단계 3.3.2.5

최종 답은 $- 32$ 입니다.

$- 32$

단계 3.4

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ 에 $2$ 을 대입하여 구한 점은 $(2, - 32)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(2, - 32)$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(4, 0), (2, - 32)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 2)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.9$ 을 대입합니다.

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$1.9$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

단계 5.2.1.2

$24$ 에 $3.61$ 을 곱합니다.

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

단계 5.2.1.3

$- 144$ 에 $1.9$ 을 곱합니다.

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$86.64$ 에서 $273.6$ 을 뺍니다.

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

단계 5.2.2.2

$- 186.96$ 를 $192$ 에 더합니다.

$f'' (1.9) = 5.04$

단계 5.2.3

최종 답은 $5.04$ 입니다.

$5.04$

단계 5.3

$1.9$ 에서의 이계도함수는 $5.04$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, 2)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 2)$ 에서 증가함

단계 6

$(2, 4)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

단계 6.2.1.2

$24$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

단계 6.2.1.3

$- 144$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$216$ 에서 $432$ 을 뺍니다.

$f'' (3) = - 216 + 192$

단계 6.2.2.2

$- 216$ 를 $192$ 에 더합니다.

$f'' (3) = - 24$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 24$ 입니다.

$- 24$

단계 6.3

$3$ 에서의 2차 미분값은 $- 24$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(2, 4)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(2, 4)$ 에서 감소함

단계 7

$(4, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4.1$ 을 대입합니다.

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$4.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

단계 7.2.1.2

$24$ 에 $16.81$ 을 곱합니다.

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

단계 7.2.1.3

$- 144$ 에 $4.1$ 을 곱합니다.

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

단계 7.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$403.44$ 에서 $590.4$ 을 뺍니다.

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

단계 7.2.2.2

$- 186.96$ 를 $192$ 에 더합니다.

$f'' (4.1) = 5.04$

단계 7.2.3

최종 답은 $5.04$ 입니다.

$5.04$

단계 7.3

$4.1$ 에서의 이계도함수는 $5.04$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(4, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(4, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

단계 9