미적분 예제

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

단계 1.1.3.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

단계 1.1.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.1.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

단계 1.1.3.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

단계 1.1.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

단계 1.1.3.8

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

단계 1.1.3.9

$3$ 와 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

단계 1.1.3.10

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 1.1.3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.1.3.12

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.1.3.13

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.3.13.1

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

단계 1.1.3.13.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.1.3.13.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.2.1

미분합니다.

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단계 1.2.1.1

합의 법칙에 의해 $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

단계 1.2.1.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

단계 1.2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

단계 1.2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

단계 1.2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.2.2.4

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 1.2.2.5

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 1.2.2.5.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 1.2.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 1.2.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

단계 1.2.2.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 1.2.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 1.2.2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

단계 1.2.2.9.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

단계 1.2.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

단계 1.2.2.11

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

단계 1.2.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

단계 1.2.2.13

지수를 더하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.2.13.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

단계 1.2.2.13.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

단계 1.2.2.13.3

$- 2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

단계 1.2.2.13.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

단계 1.2.2.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

단계 1.2.2.15

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 1.2.2.16

$- 2$ 와 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 1.2.2.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 1.2.3

$0$ 에서 $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 입니다.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 2.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

2차 미분값을 $0$ 이 되게 할 수 있는 값이 없습니다.

변곡점 없음