미적분 예제

$f (x) = (x^{2}) (9 \sqrt{x} + 5)$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 5] + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 8.3

$9$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 8.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 9

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 10

분수를 통분합니다.

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단계 10.1

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 10.2

$x^{2}$ 와 $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 10.3

식을 간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 10.3.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 11

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 11.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 11.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 11.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 11.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 11.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) (2 x)$

단계 13

$9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$

단계 14

공통분모를 사용하여 $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 와 $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$ 을 하나로 묶습니다.

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단계 14.1

$9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ 를 옮깁니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$

단계 14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot \frac{2}{2}$

단계 14.3

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

단계 14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

단계 15

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2}$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 5}{2}$

단계 16.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

단계 16.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 16.2.1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 5}{2}$

단계 16.2.1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 16.2.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 5}{2}$

단계 16.2.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 5}{2}$

단계 16.2.1.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

단계 16.2.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

단계 16.2.1.2.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

단계 16.2.1.3

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

단계 16.2.1.4

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

단계 16.2.2

$9 x^{\frac{3}{2}}$ 를 $36 x^{\frac{3}{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

단계 16.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 16.4

$20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 16.4.1

$20 x$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x (4) + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 16.4.2

$45 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 16.4.3

$5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x (4 + 9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$