미적분 예제

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{5}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 x^{4}$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{4} - 10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.3

$4$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} - 40 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$15 x^{4} - 40 x^{3} + 0$

단계 1.1.4.2

$15 x^{4} - 40 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 15 x^{4} - 40 x^{3}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $15 x^{4} - 40 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{4}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

단계 1.2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

단계 1.2.2.3

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 40$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 40 x^{3}$ 의 미분은 $- 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$60 x^{3} - 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$60 x^{3} - 40 (3 x^{2})$

단계 1.2.3.3

$3$ 에 $- 40$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x^{2}$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $60 x^{3} - 120 x^{2}$ 입니다.

$60 x^{3} - 120 x^{2}$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$

단계 2.2

$60 x^{3} - 120 x^{2}$ 에서 $60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$60 x^{3}$ 에서 $60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$60 x^{2} (x) - 120 x^{2} = 0$

단계 2.2.2

$- 120 x^{2}$ 에서 $60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2) = 0$

단계 2.2.3

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2)$ 에서 $60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$60 x^{2} (x - 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

단계 2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.6

$60 x^{2} (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 10 {(0)}^{4} + 1$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 3 \cdot 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

단계 3.1.2.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

단계 3.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0 + 1$

단계 3.1.2.1.4

$- 10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 1$

단계 3.1.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 1$

단계 3.1.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = 1$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 3.2

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 1)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 1)$

단계 3.3

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 에 $2$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = 3 {(2)}^{5} - 10 {(2)}^{4} + 1$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (2) = 3 \cdot 32 - 10 {(2)}^{4} + 1$

단계 3.3.2.1.2

$3$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$f (2) = 96 - 10 {(2)}^{4} + 1$

단계 3.3.2.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (2) = 96 - 10 \cdot 16 + 1$

단계 3.3.2.1.4

$- 10$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (2) = 96 - 160 + 1$

단계 3.3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$96$ 에서 $160$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 64 + 1$

단계 3.3.2.2.2

$- 64$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (2) = - 63$

단계 3.3.2.3

최종 답은 $- 63$ 입니다.

$- 63$

단계 3.4

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 에 $2$ 을 대입하여 구한 점은 $(2, - 63)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(2, - 63)$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 1), (2, - 63)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = 60 {(- 0.1)}^{3} - 120 {(- 0.1)}^{2}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 0.1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = 60 \cdot - 0.001 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

단계 5.2.1.2

$60$ 에 $- 0.001$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

단계 5.2.1.3

$- 0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 \cdot 0.01$

단계 5.2.1.4

$- 120$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 1.2$

단계 5.2.2

$- 0.06$ 에서 $1.2$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.1) = - 1.26$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 1.26$ 입니다.

$- 1.26$

단계 5.3

$- 0.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 1.26$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 6

$(0, 2)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f'' (1) = 60 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (1) = 60 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

단계 6.2.1.2

$60$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 60 - 120 {(1)}^{2}$

단계 6.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (1) = 60 - 120 \cdot 1$

단계 6.2.1.4

$- 120$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 60 - 120$

단계 6.2.2

$60$ 에서 $120$ 을 뺍니다.

$f'' (1) = - 60$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 60$ 입니다.

$- 60$

단계 6.3

$1$ 에서의 2차 미분값은 $- 60$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(0, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(0, 2)$ 에서 감소함

단계 7

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.1$ 을 대입합니다.

$f'' (2.1) = 60 {(2.1)}^{3} - 120 {(2.1)}^{2}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2.1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (2.1) = 60 \cdot 9.261 - 120 {(2.1)}^{2}$

단계 7.2.1.2

$60$ 에 $9.261$ 을 곱합니다.

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 {(2.1)}^{2}$

단계 7.2.1.3

$2.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 \cdot 4.41$

단계 7.2.1.4

$- 120$ 에 $4.41$ 을 곱합니다.

$f'' (2.1) = 555.66 - 529.2$

단계 7.2.2

$555.66$ 에서 $529.2$ 을 뺍니다.

$f'' (2.1) = 26.46$

단계 7.2.3

최종 답은 $26.46$ 입니다.

$26.46$

단계 7.3

$2.1$ 에서의 이계도함수는 $26.46$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(2, - 63)$ 입니다.

$(2, - 63)$

단계 9