미적분 예제

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{16 - x^{2}}$ 을(를) ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 16 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $16 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.3

$u$ 를 모두 $16 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.8

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.9

합의 법칙에 의해 $16 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.10

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.11

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.12

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.14

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.14.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.14.2

$- 2$ 와 $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.18

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.19

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.20

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.20.1

$2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.20.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.20.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.22

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 1.1.23

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 1.1.24

공통 분모를 가지는 분수로 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.25

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.26

지수를 더하여 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.26.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.26.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.26.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.26.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.27

${(16 - x^{2})}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.28

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.29

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.2.1

$f (x) = - 2 x^{2} + 16$ , $g (x) = {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.2.2

${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.3

간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.4

미분합니다.

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단계 1.2.4.1

합의 법칙에 의해 $- 2 x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.4.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.4.4

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.4.5

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.4.6

$- 4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = - x^{2} + 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.5.3

$u$ 를 모두 $- x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.10

분수를 통분합니다.

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단계 1.2.10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.10.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{{(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.11

합의 법칙에 의해 $- x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.12

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.14

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.15

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.16

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.16.1

$- 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.16.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.16.4

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.17

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.17.1

$2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.17.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.17.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.18

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.19

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.20

$- 2 x^{2} + 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.2

$- 2 x^{2} + 16$ 에 $\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.3

$- 2 x^{2} + 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.1.3.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.3.2

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (8)) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.3.3

$2 (- x^{2}) + 2 (8)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.5

$- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ 와 $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.7

인수분해된 형태로 $\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.1.7.1

$- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.1.7.1.1

$- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.7.1.2

$2 (- x^{2} + 8) x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.7.1.3

$2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.7.2

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.1.7.2.1

지수를 더하여 ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.1.7.2.1.1

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.7.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.7.2.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.7.2.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.7.2.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.7.2.2

$- 2 {(- x^{2} + 16)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.1.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.8.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.8.3

$- 2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 32 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.8.4

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 32 + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.1.8.5

$- 32$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.2.1

$\frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 16}$

단계 1.2.21.2.2

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{- x^{2} + 16}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

단계 1.2.21.2.3

지수를 더하여 ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- x^{2} + 16$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.21.2.3.1

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- x^{2} + 16$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.21.2.3.1.1

$- x^{2} + 16$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

단계 1.2.21.2.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 1.2.21.2.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 1.2.21.2.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 1.2.21.2.3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$ 입니다.

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x (x^{2} - 24) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} - 24 = 0$

단계 2.3.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.3.3

$x^{2} - 24$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.3.1

$x^{2} - 24$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 24 = 0$

단계 2.3.3.2

$x^{2} - 24 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.3.2.1

방정식의 양변에 $24$ 를 더합니다.

$x^{2} = 24$

단계 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{24}$

단계 2.3.3.2.3

$\pm \sqrt{24}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.2.3.1

$24$ 을 $2^{2} \cdot 6$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.3.3.2.3.1.1

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{4 (6)}$

단계 2.3.3.2.3.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

단계 2.3.3.2.3.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2 \sqrt{6}$

단계 2.3.3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.3.3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2 \sqrt{6}$

단계 2.3.3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2 \sqrt{6}$

단계 2.3.3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

단계 2.3.4

$2 x (x^{2} - 24) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

단계 2.4

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = 0$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

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단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = (0) \sqrt{16 - {(0)}^{2}}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 \sqrt{16 - 0}$

단계 3.1.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 \sqrt{16 + 0}$

단계 3.1.2.3

$16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

단계 3.1.2.4

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

단계 3.1.2.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (0) = 0 \cdot 4$

단계 3.1.2.6

$0$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0$

단계 3.1.2.7

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.2

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2$ 에 $- 0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5.2.1.2

$- 0.2$ 에 ${(- 0.1)}^{2} - 24$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$- 0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5.2.2.1.2

$- 1$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5.2.2.2

$- 0.01$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5.2.2.3

$15.99$ 을 ${3.9987498}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5.2.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 5.2.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 5.2.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{3}}$

단계 5.2.2.6

$3.9987498$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{63.94000937}$

단계 5.2.3

$4.798$ 을 $63.94000937$ 로 나눕니다.

$f'' (- 0.1) = 0.07503908$

단계 5.2.4

최종 답은 $0.07503908$ 입니다.

$0.07503908$

단계 5.3

$- 0.1$ 에서의 이계도함수는 $0.07503908$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 6

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$2$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} - 24)}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.2.1.2

$0.2$ 에 ${0.1}^{2} - 24$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.2.2.1.2

$- 1$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.2.2.2

$- 0.01$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.2.2.3

$15.99$ 을 ${3.9987498}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 6.2.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 6.2.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 6.2.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{3}}$

단계 6.2.2.6

$3.9987498$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{63.94000937}$

단계 6.2.3

$- 4.798$ 을 $63.94000937$ 로 나눕니다.

$f'' (0.1) = - 0.07503908$

단계 6.2.4

최종 답은 $- 0.07503908$ 입니다.

$- 0.07503908$

단계 6.3

$0.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.07503908$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(0, 0)$ 입니다.

$(0, 0)$

단계 8