미적분 예제

$y = \frac{1}{x - 2} - 3$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x - 2} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$\frac{1}{x - 2}$ 을 ${(x - 2)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$- {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.5

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(x - 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$- {(x - 2)}^{- 2} + 0$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + 0$

단계 1.1.4.2

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{1}{x - 2} - 3$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 2$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{(2) - 2} - 3$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{0} - 3$

단계 4.1.2.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 5

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음