미적분 예제

$y = 2 x - \tan (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x - \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \tan (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 입니다.

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 1.1.3.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 - \sec^{2} (x)$ 입니다.

$2 - \sec^{2} (x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 - \sec^{2} (x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

단계 2.3

$- \sec^{2} (x) = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- \sec^{2} (x) = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 2.3.2.2

$\sec^{2} (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\sec^{2} (x) = 2$

단계 2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

단계 2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

단계 2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

단계 2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 2.6

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

단계 2.7

$\sec (x) = \sqrt{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

시컨트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 시컨트의 역을 취합니다.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

단계 2.7.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

$arcsec (\sqrt{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 2.7.3

시컨트 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

단계 2.7.4

$2 π - \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 2.7.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 2.7.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

단계 2.7.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.4.3.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 π - π}{4}$

단계 2.7.4.3.2

$8 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{7 π}{4}$

단계 2.7.5

$\sec (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.7.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.7.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.7.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.7.6

함수 $\sec (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$

단계 2.8

$\sec (x) = - \sqrt{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

시컨트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 시컨트의 역을 취합니다.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

단계 2.8.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

$arcsec (- \sqrt{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{3 π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 2.8.3

시컨트 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

단계 2.8.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

단계 2.8.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

단계 2.8.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

단계 2.8.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.4.3.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

단계 2.8.4.3.2

$8 π$ 에서 $3 π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 2.8.5

$\sec (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.8.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.8.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.8.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.8.6

함수 $\sec (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$

단계 2.9

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$

단계 2.10

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sec (x)$ 의 진수를 $\frac{π}{2} + π n$ 과 같게 설정해야 합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n$

단계 3.2

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대한 ${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $2 x - \tan (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = \frac{π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 를 대입합니다.

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.1.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.1.2.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

단계 4.1.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2} - 1$

단계 4.2

$x = \frac{3 π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 를 대입합니다.

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

단계 4.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

단계 4.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

단계 4.2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

단계 4.2.2.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.2.2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

단계 4.2.2.4

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 π}{2} - - 1$

단계 4.2.2.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 π}{2} + 1$

단계 4.3

$x = \frac{5 π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $\frac{5 π}{4}$ 를 대입합니다.

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

단계 4.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

단계 4.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

단계 4.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

단계 4.3.2.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.3.2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

단계 4.3.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 π}{2} - 1$

단계 4.4

$x = \frac{7 π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$x$ 에 $\frac{7 π}{4}$ 를 대입합니다.

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

단계 4.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

단계 4.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

단계 4.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

단계 4.4.2.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.4.2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

단계 4.4.2.4

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{7 π}{2} - - 1$

단계 4.4.2.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{7 π}{2} + 1$

단계 4.5

$x = \frac{9 π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$x$ 에 $\frac{9 π}{4}$ 를 대입합니다.

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

단계 4.5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

단계 4.5.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

단계 4.5.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

단계 4.5.2.2

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.5.2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

단계 4.5.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 π}{2} - 1$

단계 4.6

모든 점을 나열합니다.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

단계 5