미적분 예제

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

${(6 - 2 x)}^{2}$ 을 $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

단계 1.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

단계 1.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

단계 1.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

단계 1.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

단계 1.1.3.1.2

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

단계 1.1.3.1.3

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

단계 1.1.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

단계 1.1.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

단계 1.1.3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

단계 1.1.3.1.6

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

단계 1.1.3.2

$- 12 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

단계 1.1.4

$f (x) = x$ , $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

합의 법칙에 의해 $36 - 24 x + 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.2

$36$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $36$ 입니다.

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 에 더합니다.

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.4

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.6

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.7

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.9

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

단계 1.1.5.11

$36 - 24 x + 4 x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

단계 1.1.6.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $- 24$ 이동하기

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

단계 1.1.6.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

단계 1.1.6.2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

단계 1.1.6.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

단계 1.1.6.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

단계 1.1.6.2.6

$- 24 x$ 에서 $24 x$ 을 뺍니다.

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

단계 1.1.6.2.7

$8 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

단계 1.1.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} - 48 x + 36$ 입니다.

$12 x^{2} - 48 x + 36$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12 x^{2} - 48 x + 36$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$12 x^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 48 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

단계 2.2.1.3

$36$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

단계 2.2.1.4

$12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

단계 2.2.1.5

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 4 x + 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $3$ 이고 합은 $- 4$ 입니다.

$- 3, - 1$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 2.4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.6

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, 1$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x {(6 - 2 x)}^{2}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 3$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$(3) {(6 - 2 \cdot 3)}^{2}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 {(6 - 6)}^{2}$

단계 4.1.2.2

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$3 \cdot 0^{2}$

단계 4.1.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 \cdot 0$

단계 4.1.2.4

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$(1) {(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

단계 4.2.2.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(6 - 2)}^{2}$

단계 4.2.2.3

$6$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4^{2}$

단계 4.2.2.4

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$16$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(3, 0), (1, 16)$

단계 5