미적분 예제

$y = x \ln (x + 3)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x + 3)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$\frac{1}{x + 3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.5.2

$\frac{x}{x + 3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

단계 1.1.3.7

$\ln (x + 3)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

단계 1.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (x + 3)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

단계 1.1.6.1.1.2

$\ln (x + 3) \cdot 3$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.6.1.1.2.1

$\ln (x + 3)$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.6.1.1.2.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \cdot \ln (x + 3)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

단계 1.1.6.1.2

$x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

단계 1.1.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ 입니다.

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

단계 2.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx - 1.14544928$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 3 = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 3.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x + 3)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x + 3 \leq 0$

단계 3.4

부등식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x \leq - 3$

단계 3.5

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln ({(x + 3)}^{3})$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

단계 3.6

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.6.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 부등식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

단계 3.6.2

방정식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.2.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.6.2.1.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

단계 3.6.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.6.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.6.2.2.1.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 3.6.2.2.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x + 3 \leq 0$

단계 3.6.3

부등식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x \leq - 3$

단계 3.7

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x \ln (x + 3)$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - 1.14544928$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $- 1.14544928$ 를 대입합니다.

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$- 1.14544928$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

단계 4.1.2.2

$1.14544928$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ 을 간단히 합니다.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

단계 4.1.2.3

$1.85455071$ 를 $1.14544928$ 승 합니다.

$- \ln (2.02886823)$

단계 4.2

$x = - 3$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $- 3$ 를 대입합니다.

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 3 \ln (0)$

단계 4.2.2.2

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

단계 5