미적분 예제

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

단계 1.1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 1.1.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 1.1.2.6.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 1.1.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 1.1.2.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 1.1.2.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 1.1.2.10

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 1.1.2.11

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 1.1.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

단계 1.1.2.13

$2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x + 2 x^{- 3}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

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단계 1.1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

단계 1.1.3.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ 입니다.

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

단계 2.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 2.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, x^{3}, 1$

단계 2.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x^{3}$

단계 2.3

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ 의 각 항에 $x^{3}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 2.3.1

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ 의 각 항에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.2.1.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 2.3.2.1.1.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.2.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 2.3.2.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 2.3.2.1.1.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

단계 2.3.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$0$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$2 x^{4} + 2 = 0$

단계 2.4

식을 풉니다.

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단계 2.4.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$2 x^{4} = - 2$

단계 2.4.2

$2 x^{4} = - 2$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.1

$2 x^{4} = - 2$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

단계 2.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

단계 2.4.2.2.1.2

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

단계 2.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.3.1

$- 2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x^{4} = - 1$

단계 2.4.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

단계 2.4.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.4.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

단계 2.4.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

단계 2.4.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

단계 2.5

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$해 없음$

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2}{x^{3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 4.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 5

도함수 $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

단계 6.2.1.3

$2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$f' (- 1) = - 2 - 2$

단계 6.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (- 1) = - 4$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 4$ 입니다.

$- 4$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $- 4$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

단계 7.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

단계 7.2.1.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (1) = 2 + 2$

단계 7.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (1) = 4$

단계 7.2.3

최종 답은 $4$ 입니다.

$4$

단계 7.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $4$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(0, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 0)$

단계 9