미적분 예제

$f (x) = - \sqrt{x + 3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 3}$ 을(를) ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$f' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = - (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = - (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

단계 1.1.8

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

단계 1.1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

단계 1.1.10

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

단계 1.1.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 1.1.11.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

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단계 4.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

단계 4.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$

단계 4.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

단계 4.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 3}$ 을(를) ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.1

$2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.3

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.6

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 x + 12 = 0^{2}$

단계 4.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 x + 12 = 0$

단계 4.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

방정식의 양변에서 $12$ 를 뺍니다.

$4 x = - 12$

단계 4.3.3.2

$4 x = - 12$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.2.1

$4 x = - 12$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

단계 4.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

단계 4.3.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 12}{4}$

단계 4.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.3.1

$- 12$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = - 3$

단계 4.4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt{x + 3}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x + 3 < 0$

단계 4.5

부등식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x < - 3$

단계 4.6

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

단계 5

도함수 $f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ 구간에서 $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 3)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {((- 4) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.2.1.2

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

단계 6.2.1.3

지수값을 계산합니다.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

단계 6.2.1.4

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 i}$

단계 6.2.2

분모를 실수로 만들려면 $\frac{1}{2 i}$ 의 분자와 분모에 $2 i$ 의 켤레복소수를 곱합니다.

$f' (- 4) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

단계 6.2.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

조합합니다.

$f' (- 4) = - \frac{1 i}{2 i i}$

단계 6.2.3.2

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i i}$

단계 6.2.3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.3.1

괄호를 표시합니다.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

단계 6.2.3.3.2

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

단계 6.2.3.3.3

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

단계 6.2.3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

단계 6.2.3.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

단계 6.2.3.3.6

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

단계 6.2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - \frac{i}{- 2}$

단계 6.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 4) = \frac{i}{2}$

단계 6.2.6

최종 답은 $\frac{i}{2}$ 입니다.

$\frac{i}{2}$

단계 6.3

$x = - 4$ 에서의 도함수는 $\frac{i}{2}$ 입니다. 허수를 포함하기에 해당 함수는 $(- \infty, - 3)$ 에서 존재하지 않습니다.

$f' (x)$ 이 허수이기 때문에 해당 함수는 $(- \infty, - 3)$ 에서 존재하지 않습니다.

단계 7

$(- 3, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2}$

단계 7.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{2}$ 입니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 7.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- \frac{1}{2}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 3, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- 3, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- 3, \infty)$

단계 9