미적분 예제

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 6}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = x - 2$ , $g (x) = x + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 6) \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{(x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.2

$x + 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

합의 법칙에 의해 $x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2.7

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2)}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

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단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{x + 6 - x + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.2.1

$x + 6 - x - - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.1.3.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{0 + 6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.2

$0$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.3

$6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{8}{{(x + 6)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$8 = 0$

단계 2.3

$8 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 6)}^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 4.2.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 5

도함수 $f' (x) = \frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 6}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 6)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 7$ 을 대입합니다.

$f' (- 7) = \frac{8}{{((- 7) + 6)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 7$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f' (- 7) = \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 7) = \frac{8}{1}$

단계 6.2.2

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (- 7) = 8$

단계 6.2.3

최종 답은 $8$ 입니다.

$8$

단계 6.3

$x = - 7$ 에서의 도함수는 $8$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 6)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 6)$ 에서 증가함

단계 7

$(- 6, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f' (- 5) = \frac{8}{{((- 5) + 6)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 5$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f' (- 5) = \frac{8}{1^{2}}$

단계 7.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (- 5) = \frac{8}{1}$

단계 7.2.2

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (- 5) = 8$

단계 7.2.3

최종 답은 $8$ 입니다.

$8$

단계 7.3

$x = - 5$ 에서의 도함수는 $8$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 6, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 6, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 6), (- 6, \infty)$

단계 9