미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{1}{x^{2} - 4}$ 을 ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 4$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

단계 1.1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 4$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

단계 1.1.3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

단계 1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

단계 1.1.3.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

단계 1.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

단계 1.1.5

항을 묶습니다.

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단계 1.1.5.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

단계 1.1.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

단계 1.1.5.3

$x$ 와 $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.5.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x = 0$

단계 2.3

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 4.2.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

단계 4.2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

단계 4.2.1.3

$(x + 2) (x - 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

단계 4.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 4.2.3

${(x + 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.2.3.1

${(x + 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

단계 4.2.3.2

${(x + 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.3.2.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 4.2.3.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 4.2.4

${(x - 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.2.4.1

${(x - 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 4.2.4.2

${(x - 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.4.2.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 4.2.4.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 4.2.5

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 2$

단계 4.3

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x = - 2, x = 2$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

단계 6.2.2.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

단계 6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

단계 6.2.4

최종 답은 $\frac{6}{25}$ 입니다.

$\frac{6}{25}$

단계 6.3

$x = - 3$ 에서의 도함수는 $\frac{6}{25}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 증가함

단계 7

$(- 2, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.2.2.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

단계 7.2.2.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

단계 7.2.2.3

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

단계 7.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

단계 7.2.4

최종 답은 $\frac{2}{9}$ 입니다.

$\frac{2}{9}$

단계 7.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $\frac{2}{9}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 2, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 2, 0)$ 에서 증가함

단계 8

$(0, 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

단계 8.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

단계 8.2.2.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

단계 8.2.2.3

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

단계 8.2.3

최종 답은 $- \frac{2}{9}$ 입니다.

$- \frac{2}{9}$

단계 8.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $- \frac{2}{9}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, 2)$ 에서 감소함

단계 9

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

단계 9.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

단계 9.2.2.2

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

단계 9.2.2.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

단계 9.2.3

최종 답은 $- \frac{6}{25}$ 입니다.

$- \frac{6}{25}$

단계 9.3

$x = 3$ 에서의 도함수는 $- \frac{6}{25}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 감소함

단계 10

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

다음 구간에서 감소: $(0, 2), (2, \infty)$

단계 11