미적분 예제

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = 1 + x^{2}$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.5

$1 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((1 - x^{2}) x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.6

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.8

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.10

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.10.2

$1 + x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.12

$1 + x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.2

$2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.2.1

$- 2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.2.2

$2 x + 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.5.3

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.6

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.7.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.7.2

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.3.7.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$f' (x) = \frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

단계 1.1.3.7.4

$(1 + x) (1 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 x = 0$

단계 2.3

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{4}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(1 + x)}^{2} = 0$

${(1 - x)}^{2} = 0$

단계 4.2.2

${(1 + x)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

${(1 + x)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(1 + x)}^{2} = 0$

단계 4.2.2.2

${(1 + x)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$1 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$1 + x = 0$

단계 4.2.2.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 4.2.3

${(1 - x)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

${(1 - x)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(1 - x)}^{2} = 0$

단계 4.2.3.2

${(1 - x)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.1

$1 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$1 - x = 0$

단계 4.2.3.2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x = - 1$

단계 4.2.3.2.2.2

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.2.2.1

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 4.2.3.2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 4.2.3.2.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

단계 4.2.3.2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 1$

단계 4.2.4

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 1$

단계 4.3

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x = - 1, x = 1$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

괄호를 제거합니다.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 + 2)}^{2}}$

단계 6.2.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{2}}$

단계 6.2.2.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 3^{2}}$

단계 6.2.2.5

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

단계 6.2.2.6

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{9}$

단계 6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 2) = - \frac{8}{9}$

단계 6.2.4

최종 답은 $- \frac{8}{9}$ 입니다.

$- \frac{8}{9}$

단계 6.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- \frac{8}{9}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 감소함

단계 7

$(- 1, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

괄호를 제거합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

단계 7.2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 7.2.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 7.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 7.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2 - 1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 7.2.3.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 7.2.3.4

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 7.2.3.5

$- - \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

단계 7.2.3.5.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 7.2.3.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 7.2.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 + 1}{2})}^{2}}$

단계 7.2.3.8

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

단계 7.2.3.9

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

단계 7.2.3.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

단계 7.2.3.11

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

단계 7.2.3.12

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2^{2}}}$

단계 7.2.3.13

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

단계 7.2.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.1

$- 4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

단계 7.2.4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{9}{4}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

단계 7.2.4.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

단계 7.2.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{16}{9})$

단계 7.2.6

$- 2 (\frac{16}{9})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.6.1

$- 2$ 와 $\frac{16}{9}$ 을 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

단계 7.2.6.2

$- 2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32}{9}$

단계 7.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

단계 7.2.8

최종 답은 $- \frac{32}{9}$ 입니다.

$- \frac{32}{9}$

단계 7.3

$x = - \frac{1}{2}$ 에서의 도함수는 $- \frac{32}{9}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 1, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- 1, 0)$ 에서 감소함

단계 8

$(0, 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

괄호를 제거합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

단계 8.2.1.2

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 8.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 8.2.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2 + 1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 8.2.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 8.2.2.4

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 8.2.2.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 8.2.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 - 1}{2})}^{2}}$

단계 8.2.2.7

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

단계 8.2.2.8

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

단계 8.2.2.9

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

단계 8.2.2.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

단계 8.2.2.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2^{2}}}$

단계 8.2.2.12

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

단계 8.2.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

$4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

단계 8.2.3.2

$\frac{9}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

단계 8.2.3.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{16}}$

단계 8.2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{16}{9})$

단계 8.2.5

$2 (\frac{16}{9})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.5.1

$2$ 와 $\frac{16}{9}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{9}$

단계 8.2.5.2

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

단계 8.2.6

최종 답은 $\frac{32}{9}$ 입니다.

$\frac{32}{9}$

단계 8.3

$x = \frac{1}{2}$ 에서의 도함수는 $\frac{32}{9}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, 1)$ 에서 증가함

단계 9

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

괄호를 제거합니다.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

단계 9.2.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

단계 9.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

단계 9.2.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

단계 9.2.2.3

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

단계 9.2.2.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

단계 9.2.2.5

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{8}{9 \cdot 1}$

단계 9.2.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \frac{8}{9}$

단계 9.2.4

최종 답은 $\frac{8}{9}$ 입니다.

$\frac{8}{9}$

단계 9.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $\frac{8}{9}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 증가함

단계 10

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(0, 1), (1, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

단계 11