미적분 예제

$f (x) = 3^{- x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = 3^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

단계 1.1.1.2

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

단계 1.1.2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

단계 1.1.2.3.2

$3^{- x} \ln (3)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

단계 1.1.2.3.3

$- 1 \cdot 3^{- x}$ 을 $- 3^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3^{- x} \ln (3)$ 입니다.

$- 3^{- x} \ln (3)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3^{- x} \ln (3) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

단계 2.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수 $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점이 없습니다. $f (x) = 3^{- x}$ 가 증가하는지 또는 감소하는지를 확인하는 구간은 $(- \infty, \infty)$ 입니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5

구간 $(- \infty, \infty)$ 에 속한 임의의 값, 예를 들면 $1$ 을 도함수 $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ 에 대입하여 결과가 음수인지 또는 양수인지를 확인합니다. 결과가 음수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 감소합니다. 결과가 양수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

단계 5.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

단계 5.2.3

$- \frac{1}{3} \ln (3)$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.3.1

$\ln (3)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

단계 5.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{3} \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

단계 5.2.4

최종 답은 $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ 입니다.

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

단계 6

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ 에 $1$ 을 대입한 결과는 $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ 로 음수입니다. 따라서 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$(- \infty, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

$(- \infty, \infty)$ 구간에서 감소하면 함수는 항상 감소합니다.

항상 감소

단계 8