미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} - 32$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 32$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 32$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 32$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 32$ 입니다.

$12 x^{2} + 0$

단계 1.1.3.2

$12 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{2}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2}$ 입니다.

$12 x^{2}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} = 0$

단계 2.2

$12 x^{2} = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$12 x^{2} = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

단계 2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{0}{12}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

$0$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

도함수 $f' (x) = 12 x^{2}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 4 x^{3} - 32$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{2}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = 12 \cdot 1$

단계 5.2.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 12$

단계 5.2.3

최종 답은 $12$ 입니다.

$12$

단계 5.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $12$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 6

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 12 \cdot 1$

단계 6.2.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 12$

단계 6.2.3

최종 답은 $12$ 입니다.

$12$

단계 6.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $12$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

단계 8