미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{2}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 12 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} - 24 x$ 입니다.

$12 x^{2} - 24 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} - 24 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} - 24 x = 0$

단계 2.2

$12 x^{2} - 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$12 x^{2}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) - 24 x = 0$

단계 2.2.2

$- 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

단계 2.2.3

$12 x (x) + 12 x (- 2)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x - 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.6

$12 x (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, 2$ 입니다.

$0, 2$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot - 1$

단계 5.2.1.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 12 - 24 \cdot - 1$

단계 5.2.1.3

$- 24$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 12 + 24$

단계 5.2.2

$12$ 를 $24$ 에 더합니다.

$f' (- 1) = 36$

단계 5.2.3

최종 답은 $36$ 입니다.

$36$

단계 5.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $36$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 6

$(0, 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

단계 6.2.1.3

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 12 - 24$

단계 6.2.2

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f' (1) = - 12$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

단계 6.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $- 12$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, 2)$ 에서 감소함

단계 7

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 24 \cdot 3$

단계 7.2.1.2

$12$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (3) = 108 - 24 \cdot 3$

단계 7.2.1.3

$- 24$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (3) = 108 - 72$

단계 7.2.2

$108$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$f' (3) = 36$

단계 7.2.3

최종 답은 $36$ 입니다.

$36$

단계 7.3

$x = 3$ 에서의 도함수는 $36$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 0), (2, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(0, 2)$

단계 9