미적분 예제

$f (x) = 4 - | x |$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $4 - | x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

단계 1.1.1.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- | x |]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- | x |$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [| x |]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

단계 1.1.2.2

$| x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{x}{| x |}$ 입니다.

$0 - \frac{x}{| x |}$

단계 1.1.3

$0$ 에서 $\frac{x}{| x |}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{x}{| x |}$ 입니다.

$- \frac{x}{| x |}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{x}{| x |} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x = 0$

단계 2.3

$- \frac{x}{| x |} = 0$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$해 없음$

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{| x |}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$| x | = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$x = \pm 0$

단계 4.2.2

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5

도함수 $f' (x) = - \frac{x}{| x |}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 4 - | x |$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{| - 1 |}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 1$ 과 $0$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{1}$

단계 6.2.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (- 1) = 1$

단계 6.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $1$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - \frac{1}{| 1 |}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

단계 7.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 1$

단계 7.2.4

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 7.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $- 1$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 0)$

다음 구간에서 감소: $(0, \infty)$

단계 9