미적분 예제

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.1.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 1.1.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 1.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 1.1.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.1.9

$6$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.1.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.11

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.12

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.12.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

단계 1.1.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.12.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ 입니다.

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 2.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

단계 4.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

단계 4.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

단계 4.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.2.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 4.3.2.2.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 4.3.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = 0^{3}$

단계 4.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x^{2} = 0$

단계 4.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.3.3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 4.3.3.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 4.3.3.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 4.3.3.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5

도함수 $f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 6.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

단계 6.2.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

단계 6.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{1}$

단계 6.2.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (- 1) = 2$

단계 6.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $2$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = \frac{2}{{(1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = \frac{2}{1}$

단계 7.2.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (1) = 2$

단계 7.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 7.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $2$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

단계 9