미적분 예제

$f (x) = 5 x^{2} - 1 x + 8$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} - 1 x + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 x + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 1 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$10 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$10 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 x - 1 + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$10 x - 1 + 0$

단계 1.1.4.2

$10 x - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 10 x - 1$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $10 x - 1$ 입니다.

$10 x - 1$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $10 x - 1 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$10 x - 1 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$10 x = 1$

단계 2.3

$10 x = 1$ 의 각 항을 $10$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$10 x = 1$ 의 각 항을 $10$ 로 나눕니다.

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{10}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{1}{10}$ 입니다.

$\frac{1}{10}$

단계 4

도함수 $f' (x) = 10 x - 1$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, \frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 5 x^{2} - 1 x + 8$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, \frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{1}{10})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{9}{10}$ 을 대입합니다.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (- \frac{9}{10}) - 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1

$- \frac{9}{10}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (\frac{- 9}{10}) - 1$

단계 5.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (\frac{- 9}{10}) - 1$

단계 5.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (- \frac{9}{10}) = - 9 - 1$

단계 5.2.2

$- 9$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (- \frac{9}{10}) = - 10$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 10$ 입니다.

$- 10$

단계 5.3

$x = - \frac{9}{10}$ 에서의 도함수는 $- 10$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{1}{10})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{1}{10})$ 에서 감소함

단계 6

$(\frac{1}{10}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{11}{10}$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{11}{10}) = 10 (\frac{11}{10}) - 1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{11}{10}) = 10 (\frac{11}{10}) - 1$

단계 6.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{11}{10}) = 11 - 1$

단계 6.2.2

$11$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (\frac{11}{10}) = 10$

단계 6.2.3

최종 답은 $10$ 입니다.

$10$

단계 6.3

$x = \frac{11}{10}$ 에서의 도함수는 $10$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\frac{1}{10}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{1}{10}, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(\frac{1}{10}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{1}{10})$

단계 8