미적분 예제

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{4}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

단계 1.1.4.2

$- 20 x^{3} - 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 20 x^{3} - 8 x$ 입니다.

$- 20 x^{3} - 8 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

단계 2.2

$- 20 x^{3} - 8 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$- 20 x^{3}$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

단계 2.2.2

$- 8 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

단계 2.2.3

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$5 x^{2} + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$5 x^{2} + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$5 x^{2} + 2 = 0$

단계 2.5.2

$5 x^{2} + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$5 x^{2} = - 2$

단계 2.5.2.2

$5 x^{2} = - 2$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.1

$5 x^{2} = - 2$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

단계 2.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

단계 2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

단계 2.5.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

단계 2.5.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.4.1

$- 1$ 을 $i^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

단계 2.5.2.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

단계 2.5.2.4.3

$\sqrt{\frac{2}{5}}$ 을 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

단계 2.5.2.4.4

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

단계 2.5.2.4.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.4.5.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

단계 2.5.2.4.5.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

단계 2.5.2.4.5.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

단계 2.5.2.4.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

단계 2.5.2.4.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

단계 2.5.2.4.5.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.5.2.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.5.2.4.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.5.2.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.2.4.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.4.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.2.4.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

단계 2.5.2.4.5.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

단계 2.5.2.4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.4.6.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

단계 2.5.2.4.6.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

단계 2.5.2.4.7

$i$ 와 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

단계 2.5.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.5.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

단계 2.5.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

단계 2.5.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

단계 2.6

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

도함수 $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

단계 5.2.1.2

$- 20$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

단계 5.2.1.3

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 20 + 8$

단계 5.2.2

$20$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f' (- 1) = 28$

단계 5.2.3

최종 답은 $28$ 입니다.

$28$

단계 5.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $28$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 6

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

단계 6.2.1.2

$- 20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

단계 6.2.1.3

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 20 - 8$

단계 6.2.2

$- 20$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f' (1) = - 28$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 28$ 입니다.

$- 28$

단계 6.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $- 28$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 0)$

다음 구간에서 감소: $(0, \infty)$

단계 8