미적분 예제

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

${(2 x - 3)}^{2}$ 을 $(2 x - 3) (2 x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

단계 1.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x - 3) (2 x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

단계 1.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

단계 1.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

단계 1.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

단계 1.1.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

단계 1.1.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

단계 1.1.3.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

단계 1.1.3.1.4

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

단계 1.1.3.1.5

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

단계 1.1.3.1.6

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

단계 1.1.3.2

$- 6 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

단계 1.1.4

$f (x) = x$ , $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} - 12 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.5

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.7

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.8

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.9

$8 x - 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

단계 1.1.5.11

$4 x^{2} - 12 x + 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

단계 1.1.6.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

단계 1.1.6.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

단계 1.1.6.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

단계 1.1.6.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

단계 1.1.6.2.5

$x$ 의 왼쪽으로 $- 12$ 이동하기

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

단계 1.1.6.2.6

$8 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

단계 1.1.6.2.7

$- 12 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} - 24 x + 9$ 입니다.

$12 x^{2} - 24 x + 9$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12 x^{2} - 24 x + 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$12 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 24 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

단계 2.2.1.3

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

단계 2.2.1.4

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

단계 2.2.1.5

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ 이고 합이 $b = - 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.1

$- 8 x$ 에서 $- 8$ 를 인수분해합니다.

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

단계 2.2.2.1.1.2

$- 8$ 를 $- 2$ + $- 6$ 로 다시 씁니다.

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

단계 2.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

단계 2.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

단계 2.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

단계 2.2.2.1.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

단계 2.4

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 2.4.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 2.4.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 2.5

$2 x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$2 x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 3 = 0$

단계 2.5.2

$2 x - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$2 x = 3$

단계 2.5.2.2

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{3}{2}$

단계 2.6

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{1}{2})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.5$ 을 대입합니다.

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

단계 5.2.1.2

$12$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

단계 5.2.1.3

$- 24$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

단계 5.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$3$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

단계 5.2.2.2

$15$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (- 0.5) = 24$

단계 5.2.3

최종 답은 $24$ 입니다.

$24$

단계 5.3

$x = - 0.5$ 에서의 도함수는 $24$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 에서 증가함

단계 6

$(0.5, \frac{3}{2})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

단계 6.2.1.3

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f' (1) = - 12 + 9$

단계 6.2.2.2

$- 12$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (1) = - 3$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 6.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $- 3$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0.5, \frac{3}{2})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 에서 감소함

단계 7

$(\frac{3}{2}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.5$ 을 대입합니다.

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

단계 7.2.1.2

$12$ 에 $6.25$ 을 곱합니다.

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

단계 7.2.1.3

$- 24$ 에 $2.5$ 을 곱합니다.

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

단계 7.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$75$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$f' (2.5) = 15 + 9$

단계 7.2.2.2

$15$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (2.5) = 24$

단계 7.2.3

최종 답은 $24$ 입니다.

$24$

단계 7.3

$x = 2.5$ 에서의 도함수는 $24$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\frac{3}{2}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{3}{2}, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

단계 9