미적분 예제

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{3} + 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $24 x^{2} + 7$ 입니다.

$24 x^{2} + 7$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $24 x^{2} + 7 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$24 x^{2} + 7 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$24 x^{2} = - 7$

단계 2.3

$24 x^{2} = - 7$ 의 각 항을 $24$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$24 x^{2} = - 7$ 의 각 항을 $24$ 로 나눕니다.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$24$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

단계 2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

단계 2.5

$\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- \frac{7}{24}$ 을 ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 1$ 을 $i^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

단계 2.5.1.2

$7$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

단계 2.5.1.3

$24$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

단계 2.5.1.4

분수 $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ 를 다시 정렬합니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

단계 2.5.1.5

$i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ 을 ${(\frac{i}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

단계 2.5.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

단계 2.5.3

$\sqrt{\frac{7}{6}}$ 을 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

단계 2.5.4

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ 에 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

단계 2.5.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ 에 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

단계 2.5.5.2

$\sqrt{6}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

단계 2.5.5.3

$\sqrt{6}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

단계 2.5.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

단계 2.5.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

단계 2.5.5.6

${\sqrt{6}}^{2}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.5.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

단계 2.5.5.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

단계 2.5.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.6.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

단계 2.5.6.2

$7$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

단계 2.5.7

$\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.7.1

$\frac{i}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{42}}{6}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

단계 2.5.7.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수 $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점이 없습니다. $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ 가 증가하는지 또는 감소하는지를 확인하는 구간은 $(- \infty, \infty)$ 입니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5

구간 $(- \infty, \infty)$ 에 속한 임의의 값, 예를 들면 $1$ 을 도함수 $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ 에 대입하여 결과가 음수인지 또는 양수인지를 확인합니다. 결과가 음수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 감소합니다. 결과가 양수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

단계 5.2.1.2

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 24 + 7$

단계 5.2.2

$24$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f' (1) = 31$

단계 5.2.3

최종 답은 $31$ 입니다.

$31$

단계 6

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$ 에 $1$ 을 대입한 결과는 $31$ 로 양수입니다. 따라서 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$24 x^{2} + 7 > 0$ 이므로 $(- \infty, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

$(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가하면 함수는 항상 증가합니다.

항상 증가

단계 8