미적분 예제

$f (x) = 19 x + \frac{1}{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $19 x + \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [19 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (19 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [19 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$19$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $19 x$ 의 미분은 $19 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 19 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

단계 1.1.2.3

$19$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

단계 1.1.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 19 - x^{- 2}$

단계 1.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 19 - \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.1.5

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 19$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{x^{2}} + 19$ 입니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 19$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $19$ 를 뺍니다.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$

단계 2.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{2}, 1$

단계 2.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x^{2}$

단계 2.4

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

단계 2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

단계 2.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

단계 2.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = - 19 x^{2}$

단계 2.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 19 x^{2} = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 19 x^{2} = - 1$

단계 2.5.2

$- 19 x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 19$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$- 19 x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 19$ 로 나눕니다.

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

단계 2.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$- 19$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

단계 2.5.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 19}$

단계 2.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x^{2} = \frac{1}{19}$

단계 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{19}}$

단계 2.5.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{19}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

$\sqrt{\frac{1}{19}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

단계 2.5.4.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

단계 2.5.4.3

$\frac{1}{\sqrt{19}}$ 에 $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

단계 2.5.4.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{19}}$ 에 $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

단계 2.5.4.4.2

$\sqrt{19}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

단계 2.5.4.4.3

$\sqrt{19}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

단계 2.5.4.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

단계 2.5.4.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

단계 2.5.4.4.6

${\sqrt{19}}^{2}$ 을 $19$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{19}$ 을(를) $19^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.5.4.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.5.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.4.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.4.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{1}}$

단계 2.5.4.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19}$

단계 2.5.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}$

단계 2.5.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{\sqrt{19}}{19}$

단계 2.5.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$ 입니다.

$\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.22941573$ 을 대입합니다.

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{{(- 1.22941573)}^{2}} + 19$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1.22941573$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

단계 6.2.1.2

$1$ 을 $1.51146303$ 로 나눕니다.

$f' (- 1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

단계 6.2.1.3

$- 1$ 에 $0.66161062$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

단계 6.2.2

$- 0.66161062$ 를 $19$ 에 더합니다.

$f' (- 1.22941573) = 18.33838937$

단계 6.2.3

최종 답은 $18.33838937$ 입니다.

$18.33838937$

단계 6.3

$x = - 1.22941573$ 에서의 도함수는 $18.33838937$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ 에서 증가함

단계 7

$(- 0.22941573, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.11470786$ 을 대입합니다.

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{{(- 0.11470786)}^{2}} + 19$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 0.11470786$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

단계 7.2.1.2

$1$ 을 $0.01315789$ 로 나눕니다.

$f' (- 0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

단계 7.2.1.3

$- 1$ 에 $76.00000256$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

단계 7.2.2

$- 76.00000256$ 를 $19$ 에 더합니다.

$f' (- 0.11470786) = - 57.00000256$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 57.00000256$ 입니다.

$- 57.00000256$

단계 7.3

$x = - 0.11470786$ 에서의 도함수는 $- 57.00000256$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 0.22941573, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0)$ 에서 감소함

단계 8

$(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.11470786$ 을 대입합니다.

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{{(0.11470786)}^{2}} + 19$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$0.11470786$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

단계 8.2.1.2

$1$ 을 $0.01315789$ 로 나눕니다.

$f' (0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

단계 8.2.1.3

$- 1$ 에 $76.00000256$ 을 곱합니다.

$f' (0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

단계 8.2.2

$- 76.00000256$ 를 $19$ 에 더합니다.

$f' (0.11470786) = - 57.00000256$

단계 8.2.3

최종 답은 $- 57.00000256$ 입니다.

$- 57.00000256$

단계 8.3

$x = 0.11470786$ 에서의 도함수는 $- 57.00000256$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ 에서 감소함

단계 9

$(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.22941573$ 을 대입합니다.

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{{(1.22941573)}^{2}} + 19$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$1.22941573$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

단계 9.2.1.2

$1$ 을 $1.51146303$ 로 나눕니다.

$f' (1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

단계 9.2.1.3

$- 1$ 에 $0.66161062$ 을 곱합니다.

$f' (1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

단계 9.2.2

$- 0.66161062$ 를 $19$ 에 더합니다.

$f' (1.22941573) = 18.33838937$

단계 9.2.3

최종 답은 $18.33838937$ 입니다.

$18.33838937$

단계 9.3

$x = 1.22941573$ 에서의 도함수는 $18.33838937$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ 에서 증가함

단계 10

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}), (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0), (0, \frac{\sqrt{19}}{19})$

단계 11