미적분 예제

$f (x) = - 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $- 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [105 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{5}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{5}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$f' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

단계 1.1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

단계 1.1.2.3

$5$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 60 x^{4} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [105 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$105$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $105 x^{4}$ 의 미분은 $105 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

단계 1.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

단계 1.1.3.3

$4$ 에 $105$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 240$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 240 x^{3}$ 의 미분은 $- 240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 \frac{d}{d x} x^{3}$

단계 1.1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 (3 x^{2})$

단계 1.1.4.3

$3$ 에 $- 240$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ 입니다.

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ 에서 $- 60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 60 x^{4}$ 에서 $- 60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 60 x^{2} x^{2} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

단계 2.2.1.2

$420 x^{3}$ 에서 $- 60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 720 x^{2} = 0$

단계 2.2.1.3

$- 720 x^{2}$ 에서 $- 60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

단계 2.2.1.4

$- 60 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{2} (- 7 x)$ 에서 $- 60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

단계 2.2.1.5

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} (12)$ 에서 $- 60 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 4, - 3$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 60 x^{2} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.7

$- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 4, 3$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, 4, 3$ 입니다.

$0, 4, 3$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = - 60 {(- 1)}^{4} + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - 60 \cdot 1 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

단계 5.2.1.2

$- 60$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 60 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

단계 5.2.1.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - 60 + 420 \cdot - 1 - 720 {(- 1)}^{2}$

단계 5.2.1.4

$420$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 {(- 1)}^{2}$

단계 5.2.1.5

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 \cdot 1$

단계 5.2.1.6

$- 720$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720$

단계 5.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 60$ 에서 $420$ 을 뺍니다.

$f' (- 1) = - 480 - 720$

단계 5.2.2.2

$- 480$ 에서 $720$ 을 뺍니다.

$f' (- 1) = - 1200$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 1200$ 입니다.

$- 1200$

단계 5.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $- 1200$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 6

$(0, 3)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 {(\frac{3}{2})}^{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.2

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{81}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.4.1

$- 60$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (- 15) (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.4.2

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - 15 (\frac{81}{4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.5

$- 15$ 와 $\frac{81}{4}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 15 \cdot 81}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.6

$- 15$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.8

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.9

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.10

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.11

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.11.1

$420$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 (105) (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.11.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.11.3

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.11.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 105 (\frac{27}{2}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.12

$105$ 와 $\frac{27}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{105 \cdot 27}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.13

$105$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.14

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

단계 6.2.1.15

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{9}{2^{2}}$

단계 6.2.1.16

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 (\frac{9}{4})$

단계 6.2.1.17

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.17.1

$- 720$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 (- 180) (\frac{9}{4})$

단계 6.2.1.17.2

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{9}{4}))$

단계 6.2.1.17.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 180 \cdot 9$

단계 6.2.1.18

$- 180$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 1620$

단계 6.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$\frac{2835}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} \cdot \frac{2}{2} - 1620$

단계 6.2.2.2

$\frac{2835}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1620$

단계 6.2.2.3

$- 1620$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1}$

단계 6.2.2.4

$\frac{- 1620}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1} \cdot \frac{4}{4}$

단계 6.2.2.5

$\frac{- 1620}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

단계 6.2.2.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{4} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

단계 6.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 2835 \cdot 2 - 1620 \cdot 4}{4}$

단계 6.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$2835$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 1620 \cdot 4}{4}$

단계 6.2.4.2

$- 1620$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 6480}{4}$

단계 6.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

$- 1215$ 를 $5670$ 에 더합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4455 - 6480}{4}$

단계 6.2.5.2

$4455$ 에서 $6480$ 을 뺍니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 2025}{4}$

단계 6.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{2025}{4}$

단계 6.2.6

최종 답은 $- \frac{2025}{4}$ 입니다.

$- \frac{2025}{4}$

단계 6.3

$x = \frac{3}{2}$ 에서의 도함수는 $- \frac{2025}{4}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, 3)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, 3)$ 에서 감소함

단계 7

$(3, 4)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{7}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 {(\frac{7}{2})}^{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$\frac{7}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{7^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.2

$7$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{2401}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.4.1

$- 60$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = 4 (- 15) (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.4.2

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - 15 (\frac{2401}{4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.5

$- 15$ 와 $\frac{2401}{4}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 15 \cdot 2401}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.6

$- 15$ 에 $2401$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.8

$\frac{7}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{7^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.9

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.10

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.11

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.11.1

$420$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 (105) (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.11.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.11.3

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.11.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 105 (\frac{343}{2}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.12

$105$ 와 $\frac{343}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{105 \cdot 343}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.13

$105$ 에 $343$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

단계 7.2.1.14

$\frac{7}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{7^{2}}{2^{2}}$

단계 7.2.1.15

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{49}{2^{2}}$

단계 7.2.1.16

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 (\frac{49}{4})$

단계 7.2.1.17

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.17.1

$- 720$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 (- 180) (\frac{49}{4})$

단계 7.2.1.17.2

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{49}{4}))$

단계 7.2.1.17.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 180 \cdot 49$

단계 7.2.1.18

$- 180$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 8820$

단계 7.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$\frac{36015}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} \cdot \frac{2}{2} - 8820$

단계 7.2.2.2

$\frac{36015}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 8820$

단계 7.2.2.3

$- 8820$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1}$

단계 7.2.2.4

$\frac{- 8820}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1} \cdot \frac{4}{4}$

단계 7.2.2.5

$\frac{- 8820}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

단계 7.2.2.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{4} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

단계 7.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 36015 \cdot 2 - 8820 \cdot 4}{4}$

단계 7.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.1

$36015$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 8820 \cdot 4}{4}$

단계 7.2.4.2

$- 8820$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 35280}{4}$

단계 7.2.5

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.5.1

$- 36015$ 를 $72030$ 에 더합니다.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{36015 - 35280}{4}$

단계 7.2.5.2

$36015$ 에서 $35280$ 을 뺍니다.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{735}{4}$

단계 7.2.6

최종 답은 $\frac{735}{4}$ 입니다.

$\frac{735}{4}$

단계 7.3

$x = \frac{7}{2}$ 에서의 도함수는 $\frac{735}{4}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(3, 4)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(3, 4)$ 에서 증가함

단계 8

$(4, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f' (5) = - 60 {(5)}^{4} + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$5$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (5) = - 60 \cdot 625 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

단계 8.2.1.2

$- 60$ 에 $625$ 을 곱합니다.

$f' (5) = - 37500 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

단계 8.2.1.3

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (5) = - 37500 + 420 \cdot 125 - 720 {(5)}^{2}$

단계 8.2.1.4

$420$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 {(5)}^{2}$

단계 8.2.1.5

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 \cdot 25$

단계 8.2.1.6

$- 720$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 18000$

단계 8.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$- 37500$ 를 $52500$ 에 더합니다.

$f' (5) = 15000 - 18000$

단계 8.2.2.2

$15000$ 에서 $18000$ 을 뺍니다.

$f' (5) = - 3000$

단계 8.2.3

최종 답은 $- 3000$ 입니다.

$- 3000$

단계 8.3

$x = 5$ 에서의 도함수는 $- 3000$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(4, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(4, \infty)$ 에서 감소함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(3, 4)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 0), (0, 3), (4, \infty)$

단계 10