미적분 예제

$f (x) = 13 x^{4} - 78 x^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $13 x^{4} - 78 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (13 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [13 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$13$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $13 x^{4}$ 의 미분은 $13 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = 13 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 13 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 52 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 78$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 78 x^{2}$ 의 미분은 $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 \frac{d}{d x} x^{2}$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 78$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 52 x^{3} - 156 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $52 x^{3} - 156 x$ 입니다.

$52 x^{3} - 156 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $52 x^{3} - 156 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$52 x^{3} - 156 x = 0$

단계 2.2

$52 x^{3} - 156 x$ 에서 $52 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$52 x^{3}$ 에서 $52 x$ 를 인수분해합니다.

$52 x (x^{2}) - 156 x = 0$

단계 2.2.2

$- 156 x$ 에서 $52 x$ 를 인수분해합니다.

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3) = 0$

단계 2.2.3

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3)$ 에서 $52 x$ 를 인수분해합니다.

$52 x (x^{2} - 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x^{2} - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x^{2} - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 3 = 0$

단계 2.5.2

$x^{2} - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} = 3$

단계 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 2.5.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.5.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 2.5.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 2.5.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 2.6

$52 x (x^{2} - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ 입니다.

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - \sqrt{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2.7320508$ 을 대입합니다.

$f' (- 2.7320508) = 52 {(- 2.7320508)}^{3} - 156 \cdot - 2.7320508$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 2.7320508$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2.7320508) = 52 \cdot - 20.39230467 - 156 \cdot - 2.7320508$

단계 5.2.1.2

$52$ 에 $- 20.39230467$ 을 곱합니다.

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 - 156 \cdot - 2.7320508$

단계 5.2.1.3

$- 156$ 에 $- 2.7320508$ 을 곱합니다.

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 + 426.1999248$

단계 5.2.2

$- 1060.39984314$ 를 $426.1999248$ 에 더합니다.

$f' (- 2.7320508) = - 634.19991834$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 634.19991834$ 입니다.

$- 634.19991834$

단계 5.3

$x = - 2.7320508$ 에서의 도함수는 $- 634.19991834$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 에서 감소함

단계 6

$(- 1.7320508, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.8660254$ 을 대입합니다.

$f' (- 0.8660254) = 52 {(- 0.8660254)}^{3} - 156 \cdot - 0.8660254$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 0.8660254$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 0.8660254) = 52 \cdot - 0.64951904 - 156 \cdot - 0.8660254$

단계 6.2.1.2

$52$ 에 $- 0.64951904$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 - 156 \cdot - 0.8660254$

단계 6.2.1.3

$- 156$ 에 $- 0.8660254$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 + 135.0999624$

단계 6.2.2

$- 33.7749903$ 를 $135.0999624$ 에 더합니다.

$f' (- 0.8660254) = 101.32497209$

단계 6.2.3

최종 답은 $101.32497209$ 입니다.

$101.32497209$

단계 6.3

$x = - 0.8660254$ 에서의 도함수는 $101.32497209$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 1.7320508, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \sqrt{3}, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \sqrt{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.8660254$ 을 대입합니다.

$f' (0.8660254) = 52 {(0.8660254)}^{3} - 156 \cdot 0.8660254$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0.8660254$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (0.8660254) = 52 \cdot 0.64951904 - 156 \cdot 0.8660254$

단계 7.2.1.2

$52$ 에 $0.64951904$ 을 곱합니다.

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 156 \cdot 0.8660254$

단계 7.2.1.3

$- 156$ 에 $0.8660254$ 을 곱합니다.

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 135.0999624$

단계 7.2.2

$33.7749903$ 에서 $135.0999624$ 을 뺍니다.

$f' (0.8660254) = - 101.32497209$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 101.32497209$ 입니다.

$- 101.32497209$

단계 7.3

$x = 0.8660254$ 에서의 도함수는 $- 101.32497209$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, \sqrt{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, \sqrt{3})$ 에서 감소함

단계 8

$(\sqrt{3}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.7320508$ 을 대입합니다.

$f' (2.7320508) = 52 {(2.7320508)}^{3} - 156 \cdot 2.7320508$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$2.7320508$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (2.7320508) = 52 \cdot 20.39230467 - 156 \cdot 2.7320508$

단계 8.2.1.2

$52$ 에 $20.39230467$ 을 곱합니다.

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 156 \cdot 2.7320508$

단계 8.2.1.3

$- 156$ 에 $2.7320508$ 을 곱합니다.

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 426.1999248$

단계 8.2.2

$1060.39984314$ 에서 $426.1999248$ 을 뺍니다.

$f' (2.7320508) = 634.19991834$

단계 8.2.3

최종 답은 $634.19991834$ 입니다.

$634.19991834$

단계 8.3

$x = 2.7320508$ 에서의 도함수는 $634.19991834$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\sqrt{3}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\sqrt{3}, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$

단계 10