미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

단계 1.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

단계 1.1.3.2

$4 x^{3} - 4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 x^{3} - 4 x$ 입니다.

$4 x^{3} - 4 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 x^{3} - 4 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 x^{3} - 4 x = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4 x^{3} - 4 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$4 x^{3}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

단계 2.2.1.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

단계 2.2.1.3

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

단계 2.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

단계 2.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.7

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 1, 1$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, - 1, 1$ 입니다.

$0, - 1, 1$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

단계 5.2.1.2

$4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 32 - 4 \cdot - 2$

단계 5.2.1.3

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 32 + 8$

단계 5.2.2

$- 32$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = - 24$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 24$ 입니다.

$- 24$

단계 5.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- 24$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 감소함

단계 6

$(- 1, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.1

$- \frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.5.1

$- \frac{1}{8}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.5.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 (2)}) - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 2}) - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.7.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (\frac{- 1}{2})$

단계 6.2.1.7.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})$

단계 6.2.1.7.3

공약수로 약분합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))$

단계 6.2.1.7.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 2 \cdot - 1$

단계 6.2.1.8

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2$

단계 6.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

단계 6.2.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 4}{2}$

단계 6.2.5.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

단계 6.2.6

최종 답은 $\frac{3}{2}$ 입니다.

$\frac{3}{2}$

단계 6.3

$x = - \frac{1}{2}$ 에서의 도함수는 $\frac{3}{2}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 1, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 1, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 4 (\frac{1}{2})$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

단계 7.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

단계 7.2.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) - 4 (\frac{1}{2})$

단계 7.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.4.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) - 4 (\frac{1}{2})$

단계 7.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) - 4 (\frac{1}{2})$

단계 7.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

단계 7.2.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.5.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{1}{2})$

단계 7.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2}))$

단계 7.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2$

단계 7.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

단계 7.2.3

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

단계 7.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

단계 7.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.5.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 4}{2}$

단계 7.2.5.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

단계 7.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

단계 7.2.7

최종 답은 $- \frac{3}{2}$ 입니다.

$- \frac{3}{2}$

단계 7.3

$x = \frac{1}{2}$ 에서의 도함수는 $- \frac{3}{2}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, 1)$ 에서 감소함

단계 8

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2$

단계 8.2.1.2

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 32 - 4 \cdot 2$

단계 8.2.1.3

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 32 - 8$

단계 8.2.2

$32$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f' (2) = 24$

단계 8.2.3

최종 답은 $24$ 입니다.

$24$

단계 8.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $24$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- 1, 0), (1, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

단계 10