미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 9$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 10 x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 x^{2}$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 20 x + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$4 x^{3} - 20 x + 0$

단계 1.1.3.2

$4 x^{3} - 20 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 20 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 x^{3} - 20 x$ 입니다.

$4 x^{3} - 20 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 x^{3} - 20 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 x^{3} - 20 x = 0$

단계 2.2

$4 x^{3} - 20 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4 x^{3}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) - 20 x = 0$

단계 2.2.2

$- 20 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 5) = 0$

단계 2.2.3

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 5)$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2} - 5) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x^{2} - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x^{2} - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 5 = 0$

단계 2.5.2

$x^{2} - 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x^{2} = 5$

단계 2.5.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{5}$

단계 2.5.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.5.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{5}$

단계 2.5.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{5}$

단계 2.5.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 2.6

$4 x (x^{2} - 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ 입니다.

$0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - \sqrt{5})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3.236068$ 을 대입합니다.

$f' (- 3.236068) = 4 {(- 3.236068)}^{3} - 20 \cdot - 3.236068$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 3.236068$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 3.236068) = 4 \cdot - 33.88854452 - 20 \cdot - 3.236068$

단계 5.2.1.2

$4$ 에 $- 33.88854452$ 을 곱합니다.

$f' (- 3.236068) = - 135.5541781 - 20 \cdot - 3.236068$

단계 5.2.1.3

$- 20$ 에 $- 3.236068$ 을 곱합니다.

$f' (- 3.236068) = - 135.5541781 + 64.72136$

단계 5.2.2

$- 135.5541781$ 를 $64.72136$ 에 더합니다.

$f' (- 3.236068) = - 70.8328181$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 70.8328181$ 입니다.

$- 70.8328181$

단계 5.3

$x = - 3.236068$ 에서의 도함수는 $- 70.8328181$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - \sqrt{5})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - \sqrt{5})$ 에서 감소함

단계 6

$(- 2.236068, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.118034$ 을 대입합니다.

$f' (- 1.118034) = 4 {(- 1.118034)}^{3} - 20 \cdot - 1.118034$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 1.118034$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 1.118034) = 4 \cdot - 1.39754252 - 20 \cdot - 1.118034$

단계 6.2.1.2

$4$ 에 $- 1.39754252$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.118034) = - 5.59017011 - 20 \cdot - 1.118034$

단계 6.2.1.3

$- 20$ 에 $- 1.118034$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.118034) = - 5.59017011 + 22.36068$

단계 6.2.2

$- 5.59017011$ 를 $22.36068$ 에 더합니다.

$f' (- 1.118034) = 16.77050988$

단계 6.2.3

최종 답은 $16.77050988$ 입니다.

$16.77050988$

단계 6.3

$x = - 1.118034$ 에서의 도함수는 $16.77050988$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 2.236068, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \sqrt{5}, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \sqrt{5})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.118034$ 을 대입합니다.

$f' (1.118034) = 4 {(1.118034)}^{3} - 20 \cdot 1.118034$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$1.118034$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (1.118034) = 4 \cdot 1.39754252 - 20 \cdot 1.118034$

단계 7.2.1.2

$4$ 에 $1.39754252$ 을 곱합니다.

$f' (1.118034) = 5.59017011 - 20 \cdot 1.118034$

단계 7.2.1.3

$- 20$ 에 $1.118034$ 을 곱합니다.

$f' (1.118034) = 5.59017011 - 22.36068$

단계 7.2.2

$5.59017011$ 에서 $22.36068$ 을 뺍니다.

$f' (1.118034) = - 16.77050988$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 16.77050988$ 입니다.

$- 16.77050988$

단계 7.3

$x = 1.118034$ 에서의 도함수는 $- 16.77050988$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, \sqrt{5})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, \sqrt{5})$ 에서 감소함

단계 8

$(\sqrt{5}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3.236068$ 을 대입합니다.

$f' (3.236068) = 4 {(3.236068)}^{3} - 20 \cdot 3.236068$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$3.236068$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (3.236068) = 4 \cdot 33.88854452 - 20 \cdot 3.236068$

단계 8.2.1.2

$4$ 에 $33.88854452$ 을 곱합니다.

$f' (3.236068) = 135.5541781 - 20 \cdot 3.236068$

단계 8.2.1.3

$- 20$ 에 $3.236068$ 을 곱합니다.

$f' (3.236068) = 135.5541781 - 64.72136$

단계 8.2.2

$135.5541781$ 에서 $64.72136$ 을 뺍니다.

$f' (3.236068) = 70.8328181$

단계 8.2.3

최종 답은 $70.8328181$ 입니다.

$70.8328181$

단계 8.3

$x = 3.236068$ 에서의 도함수는 $70.8328181$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\sqrt{5}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\sqrt{5}, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \sqrt{5}, 0), (\sqrt{5}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - \sqrt{5}), (0, \sqrt{5})$

단계 10