미적분 예제

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 1

적분을 $0$ 로 나누고 극한의 합으로 씁니다.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = 1 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 1 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$1 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 2.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 2.2

$u = 1 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

단계 2.3

$u = 1 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{upper} = 1 - 0$

단계 2.4.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1 + 0$

단계 2.4.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 1$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

단계 2.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 3.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 7

$e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$1$ , $1 - t^{2}$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 8.2

간단히 합니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

단계 9

먼저 $u = 1 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = 1 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$1 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 9.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 9.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 9.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 9.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 9.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 9.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 9.2

$u = 1 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 1 - 0$

단계 9.3.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 9.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 9.4

$u = 1 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

단계 9.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

단계 9.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 10.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 11

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

단계 13

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

단계 14

$e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

단계 15

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$1 - t^{2}$ , $1$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

단계 15.2

간단히 합니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

단계 16

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1

$- 1$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

단계 16.1.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

단계 16.1.3

$t$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

단계 16.1.4

$t$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $e$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

단계 16.2

지수 $1 - t^{2}$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{1 - t^{2}}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

단계 16.3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.1

$- 1$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

단계 16.3.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

단계 16.3.3

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

단계 16.4

지수 $1 - t^{2}$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{1 - t^{2}}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

단계 16.5

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.5.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $e$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

단계 16.5.2

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.5.2.1.1

$e$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

단계 16.5.2.1.2

$e$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

단계 16.5.2.1.3

$0$ 에서 $e$ 을 뺍니다.

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

단계 16.5.2.1.4

$- \frac{1}{2} (- e)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.5.2.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

단계 16.5.2.1.4.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

단계 16.5.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e$ 을 묶습니다.

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

단계 16.5.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- e + e}{2}$

단계 16.5.2.3

$- e$ 를 $e$ 에 더합니다.

$\frac{0}{2}$

단계 16.5.2.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$0$