미적분 예제

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x - 1$ , $g (x) = x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.2

$x^{2} + 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.7

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.1.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.2

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.5

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ 이고 합이 $b = 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.2

$2$ 를 $- 1$ + $3$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.3

최대공약수 $- x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.7

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.8

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.9

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.3.2

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.3.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.3.3

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.3.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.3.4

$(x + 1) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 3$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $- 1, 3$ 입니다.

$- 1, 3$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5.2.1.2

$- 2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

단계 5.2.2.2

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

단계 5.2.2.3

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

단계 5.2.3

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

단계 5.2.4

최종 답은 $- \frac{5}{49}$ 입니다.

$- \frac{5}{49}$

단계 5.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- \frac{5}{49}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 감소함

단계 6

$(- 1, 3)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

단계 6.2.2.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

단계 6.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

단계 6.2.3.2

$- 4$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

단계 6.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.2.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

단계 6.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

단계 6.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

단계 6.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

단계 6.2.4

최종 답은 $\frac{1}{4}$ 입니다.

$\frac{1}{4}$

단계 6.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $\frac{1}{4}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 1, 3)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 1, 3)$ 에서 증가함

단계 7

$(3, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

단계 7.2.2.2

$16$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

단계 7.2.2.3

$19$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

단계 7.2.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

단계 7.2.4

최종 답은 $- \frac{5}{361}$ 입니다.

$- \frac{5}{361}$

단계 7.3

$x = 4$ 에서의 도함수는 $- \frac{5}{361}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(3, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(3, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- 1, 3)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

단계 9