미적분 예제

$y = \frac{1}{3 x - 5}$ , $x = 1$

단계 1

$\frac{1}{3 x - 5}$ 을 ${(3 x - 5)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 3 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $3 x - 5$ 로 바꿉니다.

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + 0)$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \cdot 3$

단계 3.6.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 {(3 x - 5)}^{- 2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

단계 5

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{3}{{(3 (1) - 5)}^{2}}$

단계 6

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{{(3 - 5)}^{2}}$

단계 6.2

$3$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- \frac{3}{{(- 2)}^{2}}$

단계 6.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{3}{4}$