미적분 예제

$y = {(2 x + 1)}^{x}$ , $x = 1$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(2 x + 1)}^{x}$ 을 $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}]$

단계 1.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(2 x + 1)}^{x})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (2 x + 1)}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x \ln (2 x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x \ln (2 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x \ln (2 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (2 x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2 x + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.7

분수를 통분합니다.

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단계 5.7.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.7.2

$\frac{x}{2 x + 1}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.7.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1)$

단계 5.9

$\ln (2 x + 1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1))$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (2 x + 1)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

단계 8

$e^{x \ln (2 x + 1)}$ 와 $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

단계 9.1.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

단계 9.1.1.3

$\ln (2 x + 1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

단계 9.1.1.4

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (2 x + 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

단계 9.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x) + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

단계 9.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

단계 9.1.4

$2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x e^{x \ln (2 x + 1)} + x e^{x \ln (2 x + 1)} \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

단계 9.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

단계 10

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{2 e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.1.1

$1$ 를 로그 안으로 옮겨 $1 \ln (2 (1) + 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{2 e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{2 {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot 3^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 3 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.6

$2 \cdot 3 \cdot 1$ 을 곱합니다.

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단계 11.1.6.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.6.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.7

$1$ 를 로그 안으로 옮겨 $1 \ln (2 (1) + 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{6 + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.8

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{6 + {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.9

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.10

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6 + 3^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.11

지수값을 계산합니다.

$\frac{6 + 3 \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.12

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.13

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.14

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6 + 3 \ln (3^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.15

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{6 + 3 \ln (9) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.16

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (9)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{6 + \ln (9^{3}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.17

$9$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{6 + \ln (729) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.18

$1$ 를 로그 안으로 옮겨 $1 \ln (2 (1) + 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{6 + \ln (729) + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.19

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 (1) + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.20

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.21

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6 + \ln (729) + 3^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.22

지수값을 계산합니다.

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.23

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 + 1)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.24

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (3)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.25

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (3^{3})}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.26

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (27)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.27

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\frac{6 + \ln (729 \cdot 27)}{2 (1) + 1}$

단계 11.1.28

$729$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 (1) + 1}$

단계 11.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 + 1}$

단계 11.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6 + \ln (19683)}{3}$